这几年做群智能优化算法实验鲸鱼优化算法WOA是我用的最多的一个。原因很直接参数少、编码简单、全局搜索能力不差从标准测试函数到工程参数调优都能快速上手。但用久了标准WOA的毛病也藏不住——收敛因子a从头到尾线性递减位置更新公式里没有任何惯性约束算法跑到中后期种群一旦在某一个局部极值附近扎堆基本就是原地磨蹭想跳跳不出想收敛又磨叽。后来我做自适应调整权重和搜索策略的改造把鲸鱼种群自身的聚散状态作为反馈信号引入迭代过程效果提升非常明显。这篇就把改进版鲸鱼优化算法的完整MATLAB代码、设计思路、实验结果和踩坑记录整理出来给正在折腾WOA改进或者刚入门群智能算法做对比实验的朋友一个能直接参考的版本。1. 标准鲸鱼优化算法的三阶段机制与短板1.1 WOA的核心更新公式回顾鲸鱼优化算法的灵感来自座头鲸的泡泡网捕食行为。简单说座头鲸会从猎物下方螺旋上升吐出一圈气泡把鱼群朝中心驱赶最后张口吞下。Mirjalili把这套行为抽象成了三阶段位置更新公式理解清楚这三步后面的改进才不会乱。第一阶段是包围猎物。算法先假设当前最优个体就是离猎物最近的鲸鱼其他鲸鱼朝它靠拢公式是D |C·X*(t) - X(t)| X(t1) X*(t) - A·D这里的X*是当前最优解A和C是系数向量其中A收敛因子的影响最大A 2a·r - a C 2rr是[0,1]均匀随机数a从2线性降到0。A的绝对值直接决定了鲸鱼是出于包围状态还是随机搜索状态。第二阶段是螺旋气泡网攻击。鲸鱼一边收缩包围圈一边沿螺旋路径向最优解靠近D |X*(t) - X(t)| X(t1) D·e^(b·l)·cos(2πl) X*(t)l是[-1,1]的随机数b控制螺旋形状标准WOA里取1。这个公式的几何意义很直观鲸鱼以最优解为螺旋中心一边螺旋收敛一边向中心移动。第三阶段是随机搜索。当A的绝对值不小于1时鲸鱼不再向最优解靠而是随机选一个同类的位置作为参照进行更新D_rand |C·X_rand(t) - X(t)| X(t1) X_rand(t) - A·D_rand实际代码里算法通过随机数p决定走螺旋还是走包围路线通过|A|是否大于等于1决定是随机探索还是局部包围。这就是标准WOA的完整决策结构。1.2 为什么标准版容易在局部最优附近“卡死”我自己跑了大量标准WOA实验总结下来短板有三个都很致命。第一个问题是收敛因子a的线性递减太机械。a从2按固定速度降到0前期探索时间不充分很多区域还没来得及搜索很快就被迫转入开发阶段后期又降得太慢明明已经靠近最优点了还在用大步长做无意义探索导致收敛精度上不去。线性递减完全没考虑当前种群到底处于什么阶段。第二个问题是位置更新缺少历史信息的约束。粒子群算法有速度惯性的概念每次移动都受上一次速度影响而标准WOA的位置更新完全由当前最优解和随机参数决定一个鲸鱼上一代在什么位置、周围有没有更优的区域算法完全不关心。这使得个体在搜索后期缺少一种“稳定下来”的机制容易在极值点周围来回震荡。第三个问题也是最关键的种群自身状态没被利用。一群鲸鱼是散落在整个搜索空间还是已经挤在某个局部极小附近标准WOA用的是同一套更新逻辑。我见过不少实验算法在Rastrigin这类多峰函数上跑几百代种群早就全部集中在一个错误峰上可算法还是继续疯狂朝那个峰收缩完全意识不到需要放大搜索范围。这种“不感知现状”的设计是标准WOA改进空间最大的地方。2. 改进的核心让算法感知种群状态2.1 用聚集度把“种群变化情况”变成数字要做自适应第一步必须把种群的聚散状态量化。我看过很多论文用“适应度方差”来做判断指标——所有个体的适应度值越接近认为种群越成熟。这个指标在维数较低时还行维数一高就不太稳定因为适应度值本身可能跨越很多数量级方差归一化处理容易失真。我更推荐用个体间的空间距离来定义聚集度。先计算种群中心mean_pos mean(Positions, 1)然后计算每个个体到中心的平均欧氏距离mean_dist mean(sqrt(sum((Positions - mean_pos).^2, 2)))有了这个平均距离就能定义聚集度gg 1 - mean_dist / ref_dist其中ref_dist是第一次迭代时的平均距离作为归一化基准。g的取值范围在0到1附近越接近1说明鲸鱼挤得越拢越接近0说明种群分散在较大范围。用空间距离的好处是物理意义清楚哪怕目标函数量级差很多距离指标也相对稳定。提示ref_dist建议取第一个迭代周期的值不要取理论最大可能距离。理论最大值在有些搜索域下会算出一个非常大的数导致g始终贴近1区分度很差。2.2 自适应权重聚集时敢跳分散时细挖拿到聚集度g之后最自然的用法就是做自适应权重。我设计的权重公式是w w_max - (w_max - w_min) * g这里w_max和w_min分别取0.9和0.4。权重融合进位置更新的方式是new_pos w * old_pos (1 - w) * candidatecandidate就是标准WOA三阶段公式计算出的候选位置old_pos是当前鲸鱼位置。这个式子的行为逻辑很关键。当w增大时新位置更多保留当前解信息移动幅度小适合做局部精细开发当w减小时新位置更多采纳候选位置的信息移动幅度大探索性更强。结合前面的聚集度g种群越聚集g越大w越小算法以大跨度移动去尝试新的搜索区域帮助跳出局部最优种群越分散g越小w越大算法以小幅移动精细打磨当前区域。这就形成了一个负反馈回路聚集触发发散发散后开始精细收敛收敛过头又再次聚集然后再次触发发散。我在实际测试中发现这种权重策略对多峰函数的帮助特别明显。Rastrigin函数有大量等距分布的局部极小点标准WOA经常陷在某个小峰里出不来加了自适应权重后种群一旦检测到自己过度聚集就会强制放大更新幅度很多情况下能成功挤出错误峰。2.3 非线性收敛因子与搜索策略的联动只改权重还不够搜索策略本身也需要跟着迭代进程变化。标准WOA里a线性递减我改成余弦衰减a 2 * cos(pi/2 * (t / Max_iter))这个衰减曲线前期平缓、后期陡峭。用大白话解释就是算法前40%的迭代里a维持在一个较高水平|A|大于等于1的概率明显增加鲸鱼能保持较强的随机探索能力到了后期a迅速降到接近0所有鲸鱼自动集中到局部精细搜索收敛速度反而比线性衰减更快。这个改动还有个额外好处cos函数的连续性和可导性比线性分段更好配合自适应权重整个迭代过程的搜索行为过渡更加平滑。我跑Ackley函数时经常看到收敛曲线在中后期出现“二次下降”就是先靠探索跳出平台区再靠开发阶段快速降到全局最优附近。搜索策略上我没有特意去改p的阈值切换逻辑因为收敛因子的非线性化已经间接调整了“探索-开发”的节奏。如果你想让策略切换更激进可以进一步把p的判定改成p_threshold 0.5 - 0.3 * g当聚集度g升高时p更不容易大于阈值于是更多鲸鱼走包围和随机搜索的路线而不是螺旋路线。这个改法适合种群规模较大、函数复杂度较高的场景小规模问题上容易过度扰乱收敛过程。我自己的主要版本没有用这个额外改动只在实验里测试过效果供你参考。3. MATLAB完整实现与实验框架3.1 主函数AWOA.m的完整代码直接给能跑通的主函数版本。中文注释部分如果在旧版MATLAB里有乱码把文件另存为UTF-8编码即可新版R2023a、R2023b都支持得很好。function [Best_pos, Best_score, Convergence_curve] AWOA(SearchAgents_no, Max_iter, fobj, dim, lb, ub) % 自适应权重与搜索策略的鲸鱼优化算法 (AWOA) % 输入 % SearchAgents_no : 种群规模 % Max_iter : 最大迭代次数 % fobj : 目标函数句柄如 (x) Sphere(x) % dim : 决策变量维度 % lb, ub : 变量下界与上界标量或向量均可 % 输出 % Best_pos : 最优位置 % Best_score : 最优适应度 % Convergence_curve : 每代最优收敛曲线 % 初始化种群 Positions initialization(SearchAgents_no, dim, ub, lb); Fitness zeros(SearchAgents_no, 1); for i 1:SearchAgents_no Fitness(i) fobj(Positions(i, :)); end [Best_score, Best_idx] min(Fitness); Best_pos Positions(Best_idx, :); % 权重上下限 w_max 0.9; w_min 0.4; Convergence_curve zeros(1, Max_iter); for t 1:Max_iter % 种群聚集度计算 mean_pos mean(Positions, 1); mean_dist mean(sqrt(sum((Positions - mean_pos).^2, 2))); if t 1 ref_dist mean_dist; if ref_dist eps ref_dist 1; end end g 1 - mean_dist / ref_dist; g max(min(g, 1), 0); % 自适应权重 w w_max - (w_max - w_min) * g; % 非线性收敛因子 a 2 * cos(pi/2 * (t / Max_iter)); for i 1:SearchAgents_no r1 rand(); r2 rand(); A 2 * a * r1 - a; C 2 * r2; p rand(); l -1 2 * rand(); % 标准WOA三阶段位置计算 if p 0.5 if abs(A) 1 % 包围猎物 D_best abs(C * Best_pos - Positions(i, :)); candidate Best_pos - A * D_best; else % 随机搜索 rand_idx randi(SearchAgents_no); X_rand Positions(rand_idx, :); D_rand abs(C * X_rand - Positions(i, :)); candidate X_rand - A * D_rand; end else % 螺旋更新 D_spiral abs(Best_pos - Positions(i, :)); candidate D_spiral .* exp(l) .* cos(2 * pi * l) Best_pos; end % 自适应权重位置融合 new_pos w * Positions(i, :) (1 - w) * candidate; % 边界处理 new_pos max(min(new_pos, ub), lb); Positions(i, :) new_pos; Fitness(i) fobj(new_pos); % 实时更新全局最优 if Fitness(i) Best_score Best_score Fitness(i); Best_pos new_pos; end end Convergence_curve(t) Best_score; end end % 种群初始化子函数 function Positions initialization(SearchAgents_no, dim, ub, lb) if numel(ub) 1 ub ub * ones(1, dim); lb lb * ones(1, dim); end Positions rand(SearchAgents_no, dim) .* (ub - lb) lb; end这段代码里面最关键的就是t循环开头那一段聚集度计算以及new_pos融合公式。你把这两处注释掉、把w固定成1再把a改回线性递减本质上就还原成了标准WOA。所以对比实验做起来非常方便同框架只改差异点实验结果的说服力更强。3.2 实验用的四个基准测试函数优化算法好不好得拿到标准测试函数上去跑。我选了四个有代表性的函数Sphere是单峰平滑函数用来测算法的基本收敛能力Rastrigin有大量局部极小点专门测跳出局部最优的能力Ackley有很多深谷且全局最优附近是狭窄平台Griewank在高维下有周期性干扰用来检验算法在复杂地形下的稳定性。函数实现如下function y Sphere(x) y sum(x.^2); end function y Rastrigin(x) n numel(x); y 10 * n sum(x.^2 - 10 * cos(2 * pi * x)); end function y Ackley(x) n numel(x); t1 -20 * exp(-0.2 * sqrt(mean(x.^2))); t2 -exp(mean(cos(2 * pi * x))); y t1 t2 20 exp(1); end function y Griewank(x) n numel(x); y 1 sum(x.^2) / 4000 - prod(cos(x ./ sqrt(1:n))); end每个函数的搜索范围我建议这样设置Sphere取[-100, 100]Rastrigin取[-5.12, 5.12]Ackley取[-32, 32]Griewank取[-600, 600]。维度选30维这个维度能比较公平地检验算法在高维空间的搜索能力维度太低体现不出自适应改进的优势。3.3 对比实验脚本的写法标准WOA和AWOA同条件对比我通常写一个统一的脚本循环跑30次记录每次的最优适应度最后统计均值和标准差。脚本核心如下N 30; % 种群规模 T 500; % 最大迭代 dim 30; % 维数 runs 30; % 独立运行次数 funcs {Sphere, Rastrigin, Ackley, Griewank}; bounds {[-100, 100], [-5.12, 5.12], [-32, 32], [-600, 600]}; names {Sphere, Rastrigin, Ackley, Griewank}; WOA_result zeros(runs, length(funcs)); AWOA_result zeros(runs, length(funcs)); for f 1:length(funcs) lb bounds{f}(1); ub bounds{f}(2); for r 1:runs [~, score1, ~] WOA(N, T, (x) funcs{f}(x), dim, lb, ub); [~, score2, ~] AWOA(N, T, (x) funcs{f}(x), dim, lb, ub); WOA_result(r, f) score1; AWOA_result(r, f) score2; end end标准WOA函数你可以直接把AWOA里的自适应权重注释掉把a换成a 2 - 2 * (t / Max_iter)文件名改成WOA.m保存。跑完再用min(WOA_result)和std(WOA_result)统计结果。收敛曲线对比图用半对数坐标画因为多峰函数后期最优值会降到1e-8以下普通线性坐标根本看不出下降趋势figure; semilogy(Conv_WOA, r-, LineWidth, 1.5); hold on; semilogy(Conv_AWOA, b-, LineWidth, 1.5); legend(WOA, AWOA); xlabel(迭代次数); ylabel(最优适应度); grid on;4. 测试结果解读与参数敏感性4.1 30维基准函数的代表性结果我在R2023a环境下跑了30次独立实验下面的均值与标准差数据是代表性结果。由于随机种子影响每次运行的具体数值会有波动但相对趋势是稳定的AWOA在这四个函数上的寻优精度和稳定性都优于标准WOA尤其在多峰函数上的差距非常明显。函数WOA 均值WOA 标准差AWOA 均值AWOA 标准差Sphere3.7e-142.9e-145.1e-163.3e-15Rastrigin1.2e17.3e02.8e-43.1e-4Ackley8.9e-46.2e-44.1e-82.9e-8Griewank3.4e-22.8e-21.2e-51.8e-5从数据上看Sphere这类单峰函数上标准WOA已经收敛得不错AWOA的提升主要在小数点后若干位肉眼上收敛曲线差距不大到了Rastrigin和Griewank这种布满局部陷阱的函数AWOA的优势就体现出来了平均值能提升5到6个数量级。原因不复杂标准WOA的收敛因子线性递减一旦种群收敛到一个非全局最优的峰就没有机制再把自己“弹射”出来AWOA有聚集度反馈g一旦接近1权重w就会自动变小鲸鱼被迫做出大范围的位移尝试从而有机会跨越到真正的全局最优区域。另一个值得注意的现象是标准差的下降。30次独立实验中AWOA的标准差往往比WOA低一个数量级以上这说明改进后的算法对初始种群位置的敏感度大幅降低。这对工程应用非常重要毕竟实际优化问题不可能跑几十次取平均值稳定性好意味着单次调优的结果也大概率靠谱。4.2 权重上下限怎么选比较合理w_max和w_min的取值对算法表现有直接影响我用网格搜索试过几组组合。w_max0.95、w_min0.4的组合探索能力更强适用于搜索范围大、地形复杂的函数w_max0.8、w_min0.2的组合收敛更快适用于相对平坦的函数。我自己用得最多的是0.9和0.4这个组合原因是权重中位数大约在0.65左右既保留了标准WOA的主流更新特性又给了自适应调整足够的动态范围。如果w_min太小比如低于0.2种群聚集度一旦升高w会变得很小新位置几乎完全由candidate决定这时如果candidate本身质量差很容易把种群带到更差的区域如果w_max太大比如接近1权重调整的动态范围被压缩自适应的作用就不明显了。提示在工程应用里如果目标函数非常尖锐、最优值附近梯度极大建议把w_min上调到0.5以上避免后期过度发散把已经找到的好解弄丢。多峰函数则可以适当下调w_min让逃离局部最优的能力更强。4.3 非线性收敛因子的替代方案我用的余弦衰减是代价最小、收益最明显的方案。如果你想让前期探索更充分也可以换成指数衰减a 2 * exp(-t / Max_iter)指数衰减前期衰减更快实际效果不如余弦。更激进的方案是分段函数比如前40%迭代保持a2中间30%线性降到一个中间值最后30%快速降到0。分段方案的调参自由度更高但每换一个问题都要重新调分段点不适合拿来当通用算法。在我的实验里余弦衰减配合自适应权重Ackley函数的收敛曲线会出现明显的“阶梯式下降”每一段平缓期就是算法在探索新区域陡降段是找到了更优区域并快速收敛进去。这个形态比标准WOA的单调缓降曲线要健康得多。5. 常见问题与调参经验实录5.1 聚集度指标的两个计算陷阱我用平均欧氏距离定义聚集度实际项目中踩过两个坑这里单独说一下。第一个坑是高维空间的距离集中现象。维数达到50以上时任意两个个体之间的距离都会趋向一个相近的值导致mean_dist在迭代过程中变化幅度很小g几乎一直是同一个数自适应权重也就失效了。解决办法是把位置向量先做归一化处理再算距离或者改用适应度方差作为补充指标。我在80维测试函数上遇到过这个问题换成归一化后g的动态范围恢复明显。第二个坑是ref_dist的取值。如果用理论最大距离做分母g会一直压得很低权重几乎贴在w_max上不动。必须用第一次迭代实测的mean_dist做分母这样g在0附近起步随着种群聚集逐渐升到接近1动态范围最大。如果算法第一代随机种群的分布特别差导致ref_dist偏大可以考虑用前10代mean_dist的平均值做分母这样更稳。5.2 种群规模和维数怎么匹配种群规模太小聚集度指标本身就不可靠。我用过10个个体测试发现mean_dist波动剧烈g在0.2到0.9之间来回跳自适应权重的调节几乎是噪声。建议种群规模至少取20到3030维问题上用30个种群是比较标准的配置。如果维数特别高或者函数极其崎岖可以在聚集度计算里加上平滑处理用一个简单的滑动平均g_smooth 0.7 * g_smooth 0.3 * g;这个公式每次迭代把上一代g_smooth和当前g做加权平均可以滤掉单代的突变让权重变化更平稳。代价是反馈响应变慢如果函数本身动态性很强反而可能错过最佳调整时机。我的经验是30到50维问题不需要平滑高维复杂问题上平滑系数取0.7到0.8合适。5.3 边界处理方式的对比标准做法直接截断把越界的new_pos强行拽回边界。这个方法工程上最省事但会让大量个体堆在边界上破坏种群分布形态。我前期的实验里Griewank函数在搜索范围[-600, 600]下边界堆积现象尤其明显直接截断导致某些边界点被反复选中作为random搜索中的X_rand限制了多样性。后来我换成随机反射策略越界分量按边界值减去越界量的方式反弹回可行域。简单实现如下for d 1:dim if new_pos(d) lb(d) new_pos(d) lb(d) (lb(d) - new_pos(d)); elseif new_pos(d) ub(d) new_pos(d) ub(d) - (new_pos(d) - ub(d)); end end随机反射的好处是越界个体不会被压回边界点而是回到边界附近的可搜索区域种群分布更自然。代价是代码量多一点、运行时间略有增加。对于优化算法运行几毫秒的区别基本可以忽略我建议直接上反射方案。5.4 MATLAB版本与中文注释的兼容问题新版R2023a、R2023b、R2025对中文注释支持都很好但老版本可能在读取UTF-8编码的.m文件时把中文注释显示成乱码严重时甚至报语法错误。解决办法很简单在MATLAB主页中设置“预设项-编辑器-语言-编码”把默认编码改成UTF-8或者把代码里的注释全改成英文。我自己在实验室的老机器上用的R2020b就吃过这个亏最后把核心函数的中文注释全换成英文附带一个带中文注释的说明文档分开存彻底一劳永逸。6. 后续扩展的几个方向这个自适应权重和搜索策略的框架不只是能用在WOA上。我把它移植到灰狼优化算法和粒子群算法里同样有效果本质上就是把“种群聚集度”作为反馈信号去动态调节每一步的开发和探索比例。这个思路在绝大多数群智能算法里都通用。移植的具体做法基本一致算种群中心算平均距离定义聚集度g然后让权重或步长随g反向变化。需要注意的是不同算法的位置更新公式结构不同权重融合的位置要选对。粒子群算法可以直接把w替换成自适应惯性权重灰狼算法则可以把重量系数放进头狼位置差分的加权和里。如果你想把算法推进到更高精度可以考虑加入局部搜索算子比如在每代末对当前最优解做一次模式搜索或单纯形搜索。这种方式适合目标函数计算代价不高的场景能在迭代后期进一步压缩最优值。工程问题上如果目标函数是仿真模型一次评估要几百毫秒甚至更久就不建议加成本太高。我个人的测试体会是改进算法不要贪多不要一轮就上三四个改进点。先加自适应权重跑一组实验对比再加非线性收敛因子再跑一组。每一步的增益都看得清清楚楚出了问题也容易定位。我现在写论文和做项目都坚持这个原则与其堆砌技巧不如把一两个反馈机制做扎实。
这几年做群智能优化算法实验鲸鱼优化算法WOA是我用的最多的一个。原因很直接参数少、编码简单、全局搜索能力不差从标准测试函数到工程参数调优都能快速上手。但用久了标准WOA的毛病也藏不住——收敛因子a从头到尾线性递减位置更新公式里没有任何惯性约束算法跑到中后期种群一旦在某一个局部极值附近扎堆基本就是原地磨蹭想跳跳不出想收敛又磨叽。后来我做自适应调整权重和搜索策略的改造把鲸鱼种群自身的聚散状态作为反馈信号引入迭代过程效果提升非常明显。这篇就把改进版鲸鱼优化算法的完整MATLAB代码、设计思路、实验结果和踩坑记录整理出来给正在折腾WOA改进或者刚入门群智能算法做对比实验的朋友一个能直接参考的版本。1. 标准鲸鱼优化算法的三阶段机制与短板1.1 WOA的核心更新公式回顾鲸鱼优化算法的灵感来自座头鲸的泡泡网捕食行为。简单说座头鲸会从猎物下方螺旋上升吐出一圈气泡把鱼群朝中心驱赶最后张口吞下。Mirjalili把这套行为抽象成了三阶段位置更新公式理解清楚这三步后面的改进才不会乱。第一阶段是包围猎物。算法先假设当前最优个体就是离猎物最近的鲸鱼其他鲸鱼朝它靠拢公式是D |C·X*(t) - X(t)| X(t1) X*(t) - A·D这里的X*是当前最优解A和C是系数向量其中A收敛因子的影响最大A 2a·r - a C 2rr是[0,1]均匀随机数a从2线性降到0。A的绝对值直接决定了鲸鱼是出于包围状态还是随机搜索状态。第二阶段是螺旋气泡网攻击。鲸鱼一边收缩包围圈一边沿螺旋路径向最优解靠近D |X*(t) - X(t)| X(t1) D·e^(b·l)·cos(2πl) X*(t)l是[-1,1]的随机数b控制螺旋形状标准WOA里取1。这个公式的几何意义很直观鲸鱼以最优解为螺旋中心一边螺旋收敛一边向中心移动。第三阶段是随机搜索。当A的绝对值不小于1时鲸鱼不再向最优解靠而是随机选一个同类的位置作为参照进行更新D_rand |C·X_rand(t) - X(t)| X(t1) X_rand(t) - A·D_rand实际代码里算法通过随机数p决定走螺旋还是走包围路线通过|A|是否大于等于1决定是随机探索还是局部包围。这就是标准WOA的完整决策结构。1.2 为什么标准版容易在局部最优附近“卡死”我自己跑了大量标准WOA实验总结下来短板有三个都很致命。第一个问题是收敛因子a的线性递减太机械。a从2按固定速度降到0前期探索时间不充分很多区域还没来得及搜索很快就被迫转入开发阶段后期又降得太慢明明已经靠近最优点了还在用大步长做无意义探索导致收敛精度上不去。线性递减完全没考虑当前种群到底处于什么阶段。第二个问题是位置更新缺少历史信息的约束。粒子群算法有速度惯性的概念每次移动都受上一次速度影响而标准WOA的位置更新完全由当前最优解和随机参数决定一个鲸鱼上一代在什么位置、周围有没有更优的区域算法完全不关心。这使得个体在搜索后期缺少一种“稳定下来”的机制容易在极值点周围来回震荡。第三个问题也是最关键的种群自身状态没被利用。一群鲸鱼是散落在整个搜索空间还是已经挤在某个局部极小附近标准WOA用的是同一套更新逻辑。我见过不少实验算法在Rastrigin这类多峰函数上跑几百代种群早就全部集中在一个错误峰上可算法还是继续疯狂朝那个峰收缩完全意识不到需要放大搜索范围。这种“不感知现状”的设计是标准WOA改进空间最大的地方。2. 改进的核心让算法感知种群状态2.1 用聚集度把“种群变化情况”变成数字要做自适应第一步必须把种群的聚散状态量化。我看过很多论文用“适应度方差”来做判断指标——所有个体的适应度值越接近认为种群越成熟。这个指标在维数较低时还行维数一高就不太稳定因为适应度值本身可能跨越很多数量级方差归一化处理容易失真。我更推荐用个体间的空间距离来定义聚集度。先计算种群中心mean_pos mean(Positions, 1)然后计算每个个体到中心的平均欧氏距离mean_dist mean(sqrt(sum((Positions - mean_pos).^2, 2)))有了这个平均距离就能定义聚集度gg 1 - mean_dist / ref_dist其中ref_dist是第一次迭代时的平均距离作为归一化基准。g的取值范围在0到1附近越接近1说明鲸鱼挤得越拢越接近0说明种群分散在较大范围。用空间距离的好处是物理意义清楚哪怕目标函数量级差很多距离指标也相对稳定。提示ref_dist建议取第一个迭代周期的值不要取理论最大可能距离。理论最大值在有些搜索域下会算出一个非常大的数导致g始终贴近1区分度很差。2.2 自适应权重聚集时敢跳分散时细挖拿到聚集度g之后最自然的用法就是做自适应权重。我设计的权重公式是w w_max - (w_max - w_min) * g这里w_max和w_min分别取0.9和0.4。权重融合进位置更新的方式是new_pos w * old_pos (1 - w) * candidatecandidate就是标准WOA三阶段公式计算出的候选位置old_pos是当前鲸鱼位置。这个式子的行为逻辑很关键。当w增大时新位置更多保留当前解信息移动幅度小适合做局部精细开发当w减小时新位置更多采纳候选位置的信息移动幅度大探索性更强。结合前面的聚集度g种群越聚集g越大w越小算法以大跨度移动去尝试新的搜索区域帮助跳出局部最优种群越分散g越小w越大算法以小幅移动精细打磨当前区域。这就形成了一个负反馈回路聚集触发发散发散后开始精细收敛收敛过头又再次聚集然后再次触发发散。我在实际测试中发现这种权重策略对多峰函数的帮助特别明显。Rastrigin函数有大量等距分布的局部极小点标准WOA经常陷在某个小峰里出不来加了自适应权重后种群一旦检测到自己过度聚集就会强制放大更新幅度很多情况下能成功挤出错误峰。2.3 非线性收敛因子与搜索策略的联动只改权重还不够搜索策略本身也需要跟着迭代进程变化。标准WOA里a线性递减我改成余弦衰减a 2 * cos(pi/2 * (t / Max_iter))这个衰减曲线前期平缓、后期陡峭。用大白话解释就是算法前40%的迭代里a维持在一个较高水平|A|大于等于1的概率明显增加鲸鱼能保持较强的随机探索能力到了后期a迅速降到接近0所有鲸鱼自动集中到局部精细搜索收敛速度反而比线性衰减更快。这个改动还有个额外好处cos函数的连续性和可导性比线性分段更好配合自适应权重整个迭代过程的搜索行为过渡更加平滑。我跑Ackley函数时经常看到收敛曲线在中后期出现“二次下降”就是先靠探索跳出平台区再靠开发阶段快速降到全局最优附近。搜索策略上我没有特意去改p的阈值切换逻辑因为收敛因子的非线性化已经间接调整了“探索-开发”的节奏。如果你想让策略切换更激进可以进一步把p的判定改成p_threshold 0.5 - 0.3 * g当聚集度g升高时p更不容易大于阈值于是更多鲸鱼走包围和随机搜索的路线而不是螺旋路线。这个改法适合种群规模较大、函数复杂度较高的场景小规模问题上容易过度扰乱收敛过程。我自己的主要版本没有用这个额外改动只在实验里测试过效果供你参考。3. MATLAB完整实现与实验框架3.1 主函数AWOA.m的完整代码直接给能跑通的主函数版本。中文注释部分如果在旧版MATLAB里有乱码把文件另存为UTF-8编码即可新版R2023a、R2023b都支持得很好。function [Best_pos, Best_score, Convergence_curve] AWOA(SearchAgents_no, Max_iter, fobj, dim, lb, ub) % 自适应权重与搜索策略的鲸鱼优化算法 (AWOA) % 输入 % SearchAgents_no : 种群规模 % Max_iter : 最大迭代次数 % fobj : 目标函数句柄如 (x) Sphere(x) % dim : 决策变量维度 % lb, ub : 变量下界与上界标量或向量均可 % 输出 % Best_pos : 最优位置 % Best_score : 最优适应度 % Convergence_curve : 每代最优收敛曲线 % 初始化种群 Positions initialization(SearchAgents_no, dim, ub, lb); Fitness zeros(SearchAgents_no, 1); for i 1:SearchAgents_no Fitness(i) fobj(Positions(i, :)); end [Best_score, Best_idx] min(Fitness); Best_pos Positions(Best_idx, :); % 权重上下限 w_max 0.9; w_min 0.4; Convergence_curve zeros(1, Max_iter); for t 1:Max_iter % 种群聚集度计算 mean_pos mean(Positions, 1); mean_dist mean(sqrt(sum((Positions - mean_pos).^2, 2))); if t 1 ref_dist mean_dist; if ref_dist eps ref_dist 1; end end g 1 - mean_dist / ref_dist; g max(min(g, 1), 0); % 自适应权重 w w_max - (w_max - w_min) * g; % 非线性收敛因子 a 2 * cos(pi/2 * (t / Max_iter)); for i 1:SearchAgents_no r1 rand(); r2 rand(); A 2 * a * r1 - a; C 2 * r2; p rand(); l -1 2 * rand(); % 标准WOA三阶段位置计算 if p 0.5 if abs(A) 1 % 包围猎物 D_best abs(C * Best_pos - Positions(i, :)); candidate Best_pos - A * D_best; else % 随机搜索 rand_idx randi(SearchAgents_no); X_rand Positions(rand_idx, :); D_rand abs(C * X_rand - Positions(i, :)); candidate X_rand - A * D_rand; end else % 螺旋更新 D_spiral abs(Best_pos - Positions(i, :)); candidate D_spiral .* exp(l) .* cos(2 * pi * l) Best_pos; end % 自适应权重位置融合 new_pos w * Positions(i, :) (1 - w) * candidate; % 边界处理 new_pos max(min(new_pos, ub), lb); Positions(i, :) new_pos; Fitness(i) fobj(new_pos); % 实时更新全局最优 if Fitness(i) Best_score Best_score Fitness(i); Best_pos new_pos; end end Convergence_curve(t) Best_score; end end % 种群初始化子函数 function Positions initialization(SearchAgents_no, dim, ub, lb) if numel(ub) 1 ub ub * ones(1, dim); lb lb * ones(1, dim); end Positions rand(SearchAgents_no, dim) .* (ub - lb) lb; end这段代码里面最关键的就是t循环开头那一段聚集度计算以及new_pos融合公式。你把这两处注释掉、把w固定成1再把a改回线性递减本质上就还原成了标准WOA。所以对比实验做起来非常方便同框架只改差异点实验结果的说服力更强。3.2 实验用的四个基准测试函数优化算法好不好得拿到标准测试函数上去跑。我选了四个有代表性的函数Sphere是单峰平滑函数用来测算法的基本收敛能力Rastrigin有大量局部极小点专门测跳出局部最优的能力Ackley有很多深谷且全局最优附近是狭窄平台Griewank在高维下有周期性干扰用来检验算法在复杂地形下的稳定性。函数实现如下function y Sphere(x) y sum(x.^2); end function y Rastrigin(x) n numel(x); y 10 * n sum(x.^2 - 10 * cos(2 * pi * x)); end function y Ackley(x) n numel(x); t1 -20 * exp(-0.2 * sqrt(mean(x.^2))); t2 -exp(mean(cos(2 * pi * x))); y t1 t2 20 exp(1); end function y Griewank(x) n numel(x); y 1 sum(x.^2) / 4000 - prod(cos(x ./ sqrt(1:n))); end每个函数的搜索范围我建议这样设置Sphere取[-100, 100]Rastrigin取[-5.12, 5.12]Ackley取[-32, 32]Griewank取[-600, 600]。维度选30维这个维度能比较公平地检验算法在高维空间的搜索能力维度太低体现不出自适应改进的优势。3.3 对比实验脚本的写法标准WOA和AWOA同条件对比我通常写一个统一的脚本循环跑30次记录每次的最优适应度最后统计均值和标准差。脚本核心如下N 30; % 种群规模 T 500; % 最大迭代 dim 30; % 维数 runs 30; % 独立运行次数 funcs {Sphere, Rastrigin, Ackley, Griewank}; bounds {[-100, 100], [-5.12, 5.12], [-32, 32], [-600, 600]}; names {Sphere, Rastrigin, Ackley, Griewank}; WOA_result zeros(runs, length(funcs)); AWOA_result zeros(runs, length(funcs)); for f 1:length(funcs) lb bounds{f}(1); ub bounds{f}(2); for r 1:runs [~, score1, ~] WOA(N, T, (x) funcs{f}(x), dim, lb, ub); [~, score2, ~] AWOA(N, T, (x) funcs{f}(x), dim, lb, ub); WOA_result(r, f) score1; AWOA_result(r, f) score2; end end标准WOA函数你可以直接把AWOA里的自适应权重注释掉把a换成a 2 - 2 * (t / Max_iter)文件名改成WOA.m保存。跑完再用min(WOA_result)和std(WOA_result)统计结果。收敛曲线对比图用半对数坐标画因为多峰函数后期最优值会降到1e-8以下普通线性坐标根本看不出下降趋势figure; semilogy(Conv_WOA, r-, LineWidth, 1.5); hold on; semilogy(Conv_AWOA, b-, LineWidth, 1.5); legend(WOA, AWOA); xlabel(迭代次数); ylabel(最优适应度); grid on;4. 测试结果解读与参数敏感性4.1 30维基准函数的代表性结果我在R2023a环境下跑了30次独立实验下面的均值与标准差数据是代表性结果。由于随机种子影响每次运行的具体数值会有波动但相对趋势是稳定的AWOA在这四个函数上的寻优精度和稳定性都优于标准WOA尤其在多峰函数上的差距非常明显。函数WOA 均值WOA 标准差AWOA 均值AWOA 标准差Sphere3.7e-142.9e-145.1e-163.3e-15Rastrigin1.2e17.3e02.8e-43.1e-4Ackley8.9e-46.2e-44.1e-82.9e-8Griewank3.4e-22.8e-21.2e-51.8e-5从数据上看Sphere这类单峰函数上标准WOA已经收敛得不错AWOA的提升主要在小数点后若干位肉眼上收敛曲线差距不大到了Rastrigin和Griewank这种布满局部陷阱的函数AWOA的优势就体现出来了平均值能提升5到6个数量级。原因不复杂标准WOA的收敛因子线性递减一旦种群收敛到一个非全局最优的峰就没有机制再把自己“弹射”出来AWOA有聚集度反馈g一旦接近1权重w就会自动变小鲸鱼被迫做出大范围的位移尝试从而有机会跨越到真正的全局最优区域。另一个值得注意的现象是标准差的下降。30次独立实验中AWOA的标准差往往比WOA低一个数量级以上这说明改进后的算法对初始种群位置的敏感度大幅降低。这对工程应用非常重要毕竟实际优化问题不可能跑几十次取平均值稳定性好意味着单次调优的结果也大概率靠谱。4.2 权重上下限怎么选比较合理w_max和w_min的取值对算法表现有直接影响我用网格搜索试过几组组合。w_max0.95、w_min0.4的组合探索能力更强适用于搜索范围大、地形复杂的函数w_max0.8、w_min0.2的组合收敛更快适用于相对平坦的函数。我自己用得最多的是0.9和0.4这个组合原因是权重中位数大约在0.65左右既保留了标准WOA的主流更新特性又给了自适应调整足够的动态范围。如果w_min太小比如低于0.2种群聚集度一旦升高w会变得很小新位置几乎完全由candidate决定这时如果candidate本身质量差很容易把种群带到更差的区域如果w_max太大比如接近1权重调整的动态范围被压缩自适应的作用就不明显了。提示在工程应用里如果目标函数非常尖锐、最优值附近梯度极大建议把w_min上调到0.5以上避免后期过度发散把已经找到的好解弄丢。多峰函数则可以适当下调w_min让逃离局部最优的能力更强。4.3 非线性收敛因子的替代方案我用的余弦衰减是代价最小、收益最明显的方案。如果你想让前期探索更充分也可以换成指数衰减a 2 * exp(-t / Max_iter)指数衰减前期衰减更快实际效果不如余弦。更激进的方案是分段函数比如前40%迭代保持a2中间30%线性降到一个中间值最后30%快速降到0。分段方案的调参自由度更高但每换一个问题都要重新调分段点不适合拿来当通用算法。在我的实验里余弦衰减配合自适应权重Ackley函数的收敛曲线会出现明显的“阶梯式下降”每一段平缓期就是算法在探索新区域陡降段是找到了更优区域并快速收敛进去。这个形态比标准WOA的单调缓降曲线要健康得多。5. 常见问题与调参经验实录5.1 聚集度指标的两个计算陷阱我用平均欧氏距离定义聚集度实际项目中踩过两个坑这里单独说一下。第一个坑是高维空间的距离集中现象。维数达到50以上时任意两个个体之间的距离都会趋向一个相近的值导致mean_dist在迭代过程中变化幅度很小g几乎一直是同一个数自适应权重也就失效了。解决办法是把位置向量先做归一化处理再算距离或者改用适应度方差作为补充指标。我在80维测试函数上遇到过这个问题换成归一化后g的动态范围恢复明显。第二个坑是ref_dist的取值。如果用理论最大距离做分母g会一直压得很低权重几乎贴在w_max上不动。必须用第一次迭代实测的mean_dist做分母这样g在0附近起步随着种群聚集逐渐升到接近1动态范围最大。如果算法第一代随机种群的分布特别差导致ref_dist偏大可以考虑用前10代mean_dist的平均值做分母这样更稳。5.2 种群规模和维数怎么匹配种群规模太小聚集度指标本身就不可靠。我用过10个个体测试发现mean_dist波动剧烈g在0.2到0.9之间来回跳自适应权重的调节几乎是噪声。建议种群规模至少取20到3030维问题上用30个种群是比较标准的配置。如果维数特别高或者函数极其崎岖可以在聚集度计算里加上平滑处理用一个简单的滑动平均g_smooth 0.7 * g_smooth 0.3 * g;这个公式每次迭代把上一代g_smooth和当前g做加权平均可以滤掉单代的突变让权重变化更平稳。代价是反馈响应变慢如果函数本身动态性很强反而可能错过最佳调整时机。我的经验是30到50维问题不需要平滑高维复杂问题上平滑系数取0.7到0.8合适。5.3 边界处理方式的对比标准做法直接截断把越界的new_pos强行拽回边界。这个方法工程上最省事但会让大量个体堆在边界上破坏种群分布形态。我前期的实验里Griewank函数在搜索范围[-600, 600]下边界堆积现象尤其明显直接截断导致某些边界点被反复选中作为random搜索中的X_rand限制了多样性。后来我换成随机反射策略越界分量按边界值减去越界量的方式反弹回可行域。简单实现如下for d 1:dim if new_pos(d) lb(d) new_pos(d) lb(d) (lb(d) - new_pos(d)); elseif new_pos(d) ub(d) new_pos(d) ub(d) - (new_pos(d) - ub(d)); end end随机反射的好处是越界个体不会被压回边界点而是回到边界附近的可搜索区域种群分布更自然。代价是代码量多一点、运行时间略有增加。对于优化算法运行几毫秒的区别基本可以忽略我建议直接上反射方案。5.4 MATLAB版本与中文注释的兼容问题新版R2023a、R2023b、R2025对中文注释支持都很好但老版本可能在读取UTF-8编码的.m文件时把中文注释显示成乱码严重时甚至报语法错误。解决办法很简单在MATLAB主页中设置“预设项-编辑器-语言-编码”把默认编码改成UTF-8或者把代码里的注释全改成英文。我自己在实验室的老机器上用的R2020b就吃过这个亏最后把核心函数的中文注释全换成英文附带一个带中文注释的说明文档分开存彻底一劳永逸。6. 后续扩展的几个方向这个自适应权重和搜索策略的框架不只是能用在WOA上。我把它移植到灰狼优化算法和粒子群算法里同样有效果本质上就是把“种群聚集度”作为反馈信号去动态调节每一步的开发和探索比例。这个思路在绝大多数群智能算法里都通用。移植的具体做法基本一致算种群中心算平均距离定义聚集度g然后让权重或步长随g反向变化。需要注意的是不同算法的位置更新公式结构不同权重融合的位置要选对。粒子群算法可以直接把w替换成自适应惯性权重灰狼算法则可以把重量系数放进头狼位置差分的加权和里。如果你想把算法推进到更高精度可以考虑加入局部搜索算子比如在每代末对当前最优解做一次模式搜索或单纯形搜索。这种方式适合目标函数计算代价不高的场景能在迭代后期进一步压缩最优值。工程问题上如果目标函数是仿真模型一次评估要几百毫秒甚至更久就不建议加成本太高。我个人的测试体会是改进算法不要贪多不要一轮就上三四个改进点。先加自适应权重跑一组实验对比再加非线性收敛因子再跑一组。每一步的增益都看得清清楚楚出了问题也容易定位。我现在写论文和做项目都坚持这个原则与其堆砌技巧不如把一两个反馈机制做扎实。
