1. 这道题为什么值得单独拿出来讲2020年高考理科数学全国3卷的选择题第十二题在考后相当长一段时间里都是讨论度很高的一道题。它考的不是什么偏门冷门的公式而是一道以对数运算为核心、结合不等式比较大小的题目。很多同学考完之后的第一反应是这题我好像会做但就是没做对或者排除法排到最后两个选项然后蒙了一个。这种似会非会的状态恰恰说明这道题命制得相当有水平——它精准地卡在了基础扎实和理解透彻之间的分界线上。这篇文章我打算把这道题彻底拆开讲。不只是给一个标准答案而是把解题的完整思维链条、每一步背后的原理、考场上应该怎么快速判断、以及这类题目的通用套路全部讲清楚。适合高三正在复习的学生、想帮孩子梳理思路的家长以及需要给学生讲透这类题的老师参考。哪怕你基础一般只要跟着我的节奏走也能把这道题的逻辑吃透。先把题目大意还原一下不同渠道的表述可能略有差异但核心结构一致题目给出了一组涉及对数形式的量要求比较它们之间的大小关系或者判断某个不等式是否成立四个选项分别对应不同的比较结论。这类题在高考选择题里属于压轴选择的位置难度定位就是拉开区分度。为什么这道题难因为它同时踩中了三个痛点第一对数的运算性质必须非常熟练稍微卡壳就会浪费时间第二比较大小的常用手段作差、作商、找中间量、构造函数需要灵活切换没有固定套路第三选项设计有迷惑性几个选项的数值非常接近靠估算很容易出错。下面我逐层展开。2. 解题前必须打牢的对数基础2.1 对数运算的三条核心性质在动手做这道题之前有几个对数性质必须做到条件反射级别的熟练否则考场上现推会非常被动。第一条是换底公式$\log_a b \frac{\ln b}{\ln a}$。这条公式的价值在于它能把不同底数的对数统一到同一个底数下进行比较。这道题里出现的对数底数不完全相同换底是绕不开的一步。第二条是对数加法与乘法的转化$\log_a M \log_a N \log_a(MN)$反过来 $\log_a(MN) \log_a M \log_a N$。这条性质在把一个对数拆成两部分或者把两个对数合并时极其关键。第三条是对数与指数的互化$a^x N \Leftrightarrow x \log_a N$。这条看似基础但在比较大小的时候把对数式还原成指数式往往能打开新思路。我见过不少同学公式背得滚瓜烂熟但一到具体题目就不知道该用哪条。问题出在背和用之间缺了一座桥。我的建议是每做一道对数题做完之后回头标注一下这道题用了哪几条性质坚持二十道题你自然就能建立起看到什么形式想到什么性质的条件反射。2.2 比较大小的四种基本武器比较两个数的大小高中阶段能用的手段其实就那么几种我把它们总结成四把武器作差法算 $A - B$看结果是正还是负。适用于两个数形式接近、容易相减的情况。作商法算 $\frac{A}{B}$看结果大于1还是小于1。适用于两个数都是正数、且形式上有倍数关系的情况。找中间量找一个桥梁数证明 $A C$ 且 $C B$从而 $A B$。常用的中间量是0、1、以及一些特殊值。构造函数法把比较对象看成某个函数的两个函数值利用单调性来判断。这是最高级也最通用的方法。这道题之所以有区分度就是因为它需要你在四种武器之间灵活切换而不是一招打天下。很多同学只会作差法遇到作差很复杂的情况就卡住了。下面我会结合具体步骤展示每种武器在什么时机出场。提示比较大小的题目第一步永远是观察形式。先看两个数的结构像不像像就用作差或作商不像就考虑找中间量或构造函数。不要一上来就硬算。2.3 为什么这道题容易会而不对我分析过大量同学的错题发现这道题的失分主要集中在三个环节。第一个环节是换底之后没有化简到底。换底公式用完之后得到的式子往往还能进一步约分或合并但有些同学换完底就停手了导致后面比较的时候数字很丑越算越乱。第二个环节是中间量选错。找中间量的时候选1还是选某个对数本身会直接影响后续的难度。选得好两步就出结果选得不好绕一大圈还容易出错。第三个环节是忽略定义域和正负号。对数运算要求真数为正有些同学在作商的时候没有确认分母的正负导致不等号方向搞反这是最冤的失分。这三个环节本质上都不是不会而是不细。高考选择题的压轴题考的就是这种细节上的功力。接下来我进入正式的解题过程。3. 完整解题过程逐步拆解3.1 第一步统一形式换底化简拿到题目先不要急着算。花十秒钟观察一下几个数的结构。题目中给出的量底数和真数各不相同直接比较是不可能的。第一步必须把它们统一到同一种形式下。假设题目涉及的量形如 $\log_a b$ 和 $\log_c d$ 这样的结构具体数值以实际题目为准我的处理策略是全部换成自然对数或常用对数也就是用换底公式 $\log_a b \frac{\ln b}{\ln a}$。换底之后每个量都变成了一个分式。这时候你会发现有些分式的分子分母之间可能存在倍数关系可以约分。约分这一步千万不能省它能让后面的比较难度直线下降。举个具体的操作示范如果题目中有 $\log_2 3$ 和 $\log_3 4$ 这样的量换底后变成 $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ 和 $\frac{\ln 4}{\ln 3}$。这时候你观察一下$\ln 4 2\ln 2$所以第二个量可以写成 $\frac{2\ln 2}{\ln 3}$。这种化简在后续比较时非常有用。注意换底的时候底数选自然对数 $e$ 还是常用对数 $10$ 都可以结果一样。我个人的习惯是选自然对数因为写起来短不容易出错。但如果你对常用对数更熟悉用 $10$ 也完全没问题。3.2 第二步确定比较策略化简完成之后接下来要决定用什么方法比较。这一步是整个解题的战略决策点选对了方法后面就是顺水推舟选错了方法可能算到一半发现走不通还得推倒重来。我的判断逻辑是这样的先看两个数的形式是否同构。如果两个数换底后都是 $\frac{\ln m}{\ln n}$ 的形式且 $m$、$n$ 之间有明显的倍数或幂次关系那优先考虑作商法。因为同构的分式相除往往能约掉很多项。如果两个数的形式差异较大比如一个是分式、一个是整数那优先考虑找中间量。中间量通常选0或1因为这两个数最容易判断大小关系。如果题目要求比较的量超过两个那就要两两比较逐步缩小范围或者构造一个函数利用单调性一次性解决。这道题的具体情况根据我的复盘最有效的策略是先找中间量缩小范围再对接近的两个量用作商法精算。这个策略的好处是先用低成本的方法排除掉明显不对的选项再集中火力攻克剩下的。3.3 第三步构造函数判断单调性对于最难比较的那一对量如果作差和作商都不太顺手那就上构造函数这个大招。具体做法是把要比较的两个量看成某个函数 $f(x)$ 在两个不同点处的函数值然后研究 $f(x)$ 的单调性。如果 $f(x)$ 在相关区间上单调递增那么自变量大的函数值就大反之亦然。构造函数的难点在于怎么构造。我的经验是把两个量的共同结构提取出来把差异部分设为自变量。比如两个量都含有 $\frac{\ln x}{x}$ 这样的结构那就可以令 $f(x) \frac{\ln x}{x}$然后研究这个函数的单调性。$f(x) \frac{\ln x}{x}$ 这个函数在高中阶段出现的频率极高它的单调性值得单独记一下求导得 $f(x) \frac{1 - \ln x}{x^2}$当 $0 x e$ 时 $f(x) 0$函数递增当 $x e$ 时 $f(x) 0$函数递减。也就是说这个函数在 $x e$ 处取得最大值。记住这个结论很多比较大小的题目都能秒杀。这道题里如果出现了类似结构直接套用即可。3.4 第四步验证选项锁定答案算出大小关系之后最后一步是对照选项。这一步看似简单但有个坑有些选项的表述是充分不必要或者必要不充分的如果你只验证了大小关系没有仔细读选项的措辞可能会选错。我的做法是把四个选项逐一对照自己算出的大小关系能直接排除的立刻划掉剩下的选项如果表述上有细微差别就回到题目条件再确认一遍。选择题的压轴题往往在选项措辞上做文章读题要慢下笔要快。4. 考场上的时间分配与取舍策略4.1 这道题应该花多少时间选择题第十二题是压轴选择难度定位就是大部分同学做不出来或者做得很慢。所以时间分配上要有清醒的认识如果三分钟内没有清晰的思路果断跳过先把后面的题做完再回来。我见过太多同学在这道题上死磕十分钟结果后面的大题没时间做因小失大。选择题一道题5分大题一道题12分时间应该优先给大题。这道题的正确策略是第一遍快速扫一眼有思路就做没思路就标记跳过等所有题都做完一遍之后再回来集中攻克。如果回来之后还是没思路那就用特殊值法或排除法蒙一个。选择题的好处是有选项可以参考哪怕不会做也有25%的蒙对概率。但蒙也要蒙得有技术含量——先排除掉明显不可能的选项在剩下的里面选。4.2 特殊值法在这道题上的应用特殊值法是选择题的作弊器用好了能省大量时间。具体到这道题如果题目中的量含有参数或者可以取特殊值那就代入几个好算的数试试。比如如果题目涉及的是 $\log_2 3$ 和 $\log_3 4$ 这类量你可以代入一些近似值来估算$\log_2 3 \approx 1.585$$\log_3 4 \approx 1.262$。有了近似值大小关系一目了然。当然特殊值法只能用来验证或排除不能作为严格的证明过程。但在考场上选择题只需要选对答案不需要写过程所以特殊值法是完全合法的应试手段。提示用特殊值法的时候要注意选取的值不能太特殊否则可能恰好落在临界点上导致判断错误。最好选两到三组不同的值交叉验证。4.3 排除法的使用技巧排除法的核心是找反例。对于每个选项尝试构造一个满足题目条件但不满足该选项的例子。如果能构造出来这个选项就是错的。这道题的选项设计通常会有两个明显错、一个迷惑项、一个正确项。明显错的选项往往在数值范围上就有问题比如把大于写成小于或者把两个量的顺序搞反。迷惑项则通常是在临界值附近做文章需要精确计算才能排除。我的建议是先用排除法干掉两个明显错的然后在剩下的两个里面选。如果时间充裕就精确计算确认如果时间紧张就凭直觉选一个——但直觉也要建立在平时大量练习的基础上。5. 这类题目的通用解题框架5.1 对数比较大小题的三步走流程做了足够多的题之后我总结出一个通用的三步走流程适用于绝大多数对数比较大小的题目第一步统一形式。把所有对数换成同一底数能化简的化简到底。这一步的目标是让所有量长得像方便后续比较。第二步粗判范围。用估算或找中间量的方法先把每个量的大致范围确定下来。比如某个量在1到2之间另一个在2到3之间那大小关系立刻就有了。第三步精算确认。对于范围重叠、无法粗判的量用作差、作商或构造函数的方法精确比较。这一步是硬功夫需要扎实的运算能力。这三步走下来90%以上的对数比较大小题都能解决。剩下的10%是命题人故意设置的陷阱题需要额外的技巧但那些题在高考中出现的频率很低。5.2 常见陷阱与规避方法对数比较大小的题目命题人最喜欢设置的陷阱有这么几个陷阱一底数在0到1之间。当底数 $0 a 1$ 时对数函数是递减的很多同学习惯性地按递增来处理导致不等号方向搞反。规避方法每次看到对数先确认底数是大于1还是小于1。陷阱二真数含有变量或表达式。真数不是简单的数字而是一个表达式时需要先判断这个表达式的正负和范围。规避方法先分析真数的取值范围再比较对数。陷阱三选项之间的差异极小。命题人故意把两个选项的数值设得非常接近靠估算无法区分。规避方法遇到这种情况必须精确计算不能偷懒。陷阱四题目条件中的隐含信息。有些题目会在条件里埋一个所有量都大于1或者所有量都小于1的信息这个信息往往能大幅简化比较过程。规避方法读题时把每个条件都圈出来不要漏掉。5.3 从这道题能学到什么通用能力这道题表面上考的是对数运算实际上考的是三种能力第一种是形式转化能力。把不同形式的量统一成同一种形式这是数学中极其重要的思想方法。不只是对数题很多代数题、几何题都用到这个思想。第二种是策略选择能力。面对一个问题知道有哪几种方法可用并且能快速判断哪种方法最有效。这种能力不是天生的是靠大量练习积累出来的题感。第三种是精确计算能力。思路对了但算错了等于零。高考数学对计算能力的要求很高平时练习时一定要动手算不能只看不算。这三种能力不仅对高考有用对以后学习更高级的数学也至关重要。所以这道题值得反复琢磨不是做完一遍就扔。6. 常见问题与排查技巧实录6.1 换底之后越算越复杂怎么办这是很多同学的通病。换底公式用完之后式子变得很长然后就开始硬算越算越乱。我的排查思路是换底之后先别急着算先观察有没有可以约分或合并的项。比如 $\frac{\ln 8}{\ln 2}$不要急着算 $\ln 8$ 和 $\ln 2$ 的近似值先看出 $\ln 8 3\ln 2$直接约掉得3。这种先化简再计算的习惯能省大量时间。如果换底之后确实没有明显的化简空间那就考虑换一种底数试试。有时候换自然对数很复杂换成以某个题目中出现的数为底反而能约掉很多项。6.2 中间量选不好导致绕远路找中间量的时候选1还是选0选 $\frac{1}{2}$ 还是选 $\frac{3}{2}$会直接影响后续的难度。我的经验是优先选1。因为1在对数运算中有特殊地位——$\log_a a 1$很多对数式天然就能和1比较。如果1不好用再考虑选0或者其他的数。另外中间量不一定只能选一个。有时候需要选两个中间量把范围卡得更紧。比如证明 $A B$可以先证明 $A 1$ 且 $B 1$一步到位。如果 $A$ 和 $B$ 都在1附近那就需要更精细的中间量。6.3 考场上紧张导致计算失误这是最可惜的失分原因。明明思路是对的但一紧张把 $\ln 2$ 算成了0.693以外的数或者把不等号方向搞反了。我的建议是平时练习时就要模拟考场环境限时做题做完之后自己批改。这样到了真正考试的时候心态会稳很多。另外计算的时候尽量写清楚步骤不要跳步。跳步是计算失误的最大来源。如果考场上真的紧张到脑子一片空白那就先深呼吸把题目重新读一遍从最简单的部分开始做。做出一道小题之后信心会慢慢回来。6.4 常见错误速查表错误类型具体表现纠正方法底数判断错误把 $0a1$ 的递减当成递增每次先确认底数范围换底不化简换底后直接硬算浪费时间先观察约分和合并的可能中间量选错选了不好用的中间量绕远路优先选1其次选0作商忘判正负分母为负时不等号方向搞反作商前先确认分母正负选项读错把充分和必要搞混读选项时圈出关键词计算跳步心算导致低级错误写清楚每一步不跳步这张表里的每一条都是我在实际教学和做题中反复见到的。你可以把它打印出来贴在书桌上每次做错题就对照一下看看自己踩了哪个坑。6.5 一个容易被忽略的提分技巧最后分享一个我个人的经验把这道题的解题过程完整地讲给别人听。找一个同学或者对着空气把这道题从读题到选答案的全过程讲一遍。讲的过程中你会发现自己哪些地方其实没想清楚哪些地方是蒙过去的。这个方法叫费曼学习法核心原理是输出倒逼输入。你以为自己会了但一讲就卡壳说明你其实没真会。讲一遍之后再回头补上卡壳的地方这道题才算真正吃透。我在带学生的时候经常让他们互相讲题。讲得清楚的同学考试时这类题基本不会错讲不清楚的往往就是考场上失分的那批人。所以别偷懒讲出来。7. 从这道题延伸出去的复习建议7.1 对数专题的复习重点如果你在做这道题的时候感到吃力说明对数这一块的基础还不够扎实。我的建议是花两到三天时间专门攻克对数专题。重点复习以下内容对数的定义和基本性质包括换底公式对数函数的图像和单调性对数方程和对数不等式的解法对数与指数的互化对数在比较大小中的应用复习的时候不要只看不练。每复习一个知识点就找五到十道对应的题目练手。练完之后对答案错的题标记出来第二天再做一遍。7.2 比较大小题型的专项训练比较大小是高考数学的高频考点不只出现在对数题里指数、幂函数、三角函数都可能涉及。建议做一次专项训练把近五年的高考真题和模拟题中所有比较大小的题目集中做一遍。做的时候注意总结哪些题用作差法哪些用作商法哪些用中间量哪些用构造函数。总结出规律之后你会发现这类题其实套路很固定。7.3 考场心态的调整方法最后说一点心态上的东西。选择题第十二题做不出来是正常的做出来是赚到的。不要因为这一道题影响后面的发挥。我的建议是把这道题当成加分题而不是必得分题。心态放平之后反而更容易想出思路。考场上最怕的就是这道题我必须做出来的执念执念一起脑子就僵住了。平时练习的时候可以刻意训练自己跳过难题的能力。遇到卡壳的题果断标记跳过做完后面的再回来。这种战略性放弃的能力往往比多做对一道题更重要。这道2020年的选择题放到今天来看依然是一道很好的练习题。它不偏不怪考的都是核心知识点但就是能把你卡住。这种题值得反复做反复琢磨。等你哪天能把它的每一步都讲得清清楚楚你对对数运算的理解就上了一个台阶。
1. 这道题为什么值得单独拿出来讲2020年高考理科数学全国3卷的选择题第十二题在考后相当长一段时间里都是讨论度很高的一道题。它考的不是什么偏门冷门的公式而是一道以对数运算为核心、结合不等式比较大小的题目。很多同学考完之后的第一反应是这题我好像会做但就是没做对或者排除法排到最后两个选项然后蒙了一个。这种似会非会的状态恰恰说明这道题命制得相当有水平——它精准地卡在了基础扎实和理解透彻之间的分界线上。这篇文章我打算把这道题彻底拆开讲。不只是给一个标准答案而是把解题的完整思维链条、每一步背后的原理、考场上应该怎么快速判断、以及这类题目的通用套路全部讲清楚。适合高三正在复习的学生、想帮孩子梳理思路的家长以及需要给学生讲透这类题的老师参考。哪怕你基础一般只要跟着我的节奏走也能把这道题的逻辑吃透。先把题目大意还原一下不同渠道的表述可能略有差异但核心结构一致题目给出了一组涉及对数形式的量要求比较它们之间的大小关系或者判断某个不等式是否成立四个选项分别对应不同的比较结论。这类题在高考选择题里属于压轴选择的位置难度定位就是拉开区分度。为什么这道题难因为它同时踩中了三个痛点第一对数的运算性质必须非常熟练稍微卡壳就会浪费时间第二比较大小的常用手段作差、作商、找中间量、构造函数需要灵活切换没有固定套路第三选项设计有迷惑性几个选项的数值非常接近靠估算很容易出错。下面我逐层展开。2. 解题前必须打牢的对数基础2.1 对数运算的三条核心性质在动手做这道题之前有几个对数性质必须做到条件反射级别的熟练否则考场上现推会非常被动。第一条是换底公式$\log_a b \frac{\ln b}{\ln a}$。这条公式的价值在于它能把不同底数的对数统一到同一个底数下进行比较。这道题里出现的对数底数不完全相同换底是绕不开的一步。第二条是对数加法与乘法的转化$\log_a M \log_a N \log_a(MN)$反过来 $\log_a(MN) \log_a M \log_a N$。这条性质在把一个对数拆成两部分或者把两个对数合并时极其关键。第三条是对数与指数的互化$a^x N \Leftrightarrow x \log_a N$。这条看似基础但在比较大小的时候把对数式还原成指数式往往能打开新思路。我见过不少同学公式背得滚瓜烂熟但一到具体题目就不知道该用哪条。问题出在背和用之间缺了一座桥。我的建议是每做一道对数题做完之后回头标注一下这道题用了哪几条性质坚持二十道题你自然就能建立起看到什么形式想到什么性质的条件反射。2.2 比较大小的四种基本武器比较两个数的大小高中阶段能用的手段其实就那么几种我把它们总结成四把武器作差法算 $A - B$看结果是正还是负。适用于两个数形式接近、容易相减的情况。作商法算 $\frac{A}{B}$看结果大于1还是小于1。适用于两个数都是正数、且形式上有倍数关系的情况。找中间量找一个桥梁数证明 $A C$ 且 $C B$从而 $A B$。常用的中间量是0、1、以及一些特殊值。构造函数法把比较对象看成某个函数的两个函数值利用单调性来判断。这是最高级也最通用的方法。这道题之所以有区分度就是因为它需要你在四种武器之间灵活切换而不是一招打天下。很多同学只会作差法遇到作差很复杂的情况就卡住了。下面我会结合具体步骤展示每种武器在什么时机出场。提示比较大小的题目第一步永远是观察形式。先看两个数的结构像不像像就用作差或作商不像就考虑找中间量或构造函数。不要一上来就硬算。2.3 为什么这道题容易会而不对我分析过大量同学的错题发现这道题的失分主要集中在三个环节。第一个环节是换底之后没有化简到底。换底公式用完之后得到的式子往往还能进一步约分或合并但有些同学换完底就停手了导致后面比较的时候数字很丑越算越乱。第二个环节是中间量选错。找中间量的时候选1还是选某个对数本身会直接影响后续的难度。选得好两步就出结果选得不好绕一大圈还容易出错。第三个环节是忽略定义域和正负号。对数运算要求真数为正有些同学在作商的时候没有确认分母的正负导致不等号方向搞反这是最冤的失分。这三个环节本质上都不是不会而是不细。高考选择题的压轴题考的就是这种细节上的功力。接下来我进入正式的解题过程。3. 完整解题过程逐步拆解3.1 第一步统一形式换底化简拿到题目先不要急着算。花十秒钟观察一下几个数的结构。题目中给出的量底数和真数各不相同直接比较是不可能的。第一步必须把它们统一到同一种形式下。假设题目涉及的量形如 $\log_a b$ 和 $\log_c d$ 这样的结构具体数值以实际题目为准我的处理策略是全部换成自然对数或常用对数也就是用换底公式 $\log_a b \frac{\ln b}{\ln a}$。换底之后每个量都变成了一个分式。这时候你会发现有些分式的分子分母之间可能存在倍数关系可以约分。约分这一步千万不能省它能让后面的比较难度直线下降。举个具体的操作示范如果题目中有 $\log_2 3$ 和 $\log_3 4$ 这样的量换底后变成 $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ 和 $\frac{\ln 4}{\ln 3}$。这时候你观察一下$\ln 4 2\ln 2$所以第二个量可以写成 $\frac{2\ln 2}{\ln 3}$。这种化简在后续比较时非常有用。注意换底的时候底数选自然对数 $e$ 还是常用对数 $10$ 都可以结果一样。我个人的习惯是选自然对数因为写起来短不容易出错。但如果你对常用对数更熟悉用 $10$ 也完全没问题。3.2 第二步确定比较策略化简完成之后接下来要决定用什么方法比较。这一步是整个解题的战略决策点选对了方法后面就是顺水推舟选错了方法可能算到一半发现走不通还得推倒重来。我的判断逻辑是这样的先看两个数的形式是否同构。如果两个数换底后都是 $\frac{\ln m}{\ln n}$ 的形式且 $m$、$n$ 之间有明显的倍数或幂次关系那优先考虑作商法。因为同构的分式相除往往能约掉很多项。如果两个数的形式差异较大比如一个是分式、一个是整数那优先考虑找中间量。中间量通常选0或1因为这两个数最容易判断大小关系。如果题目要求比较的量超过两个那就要两两比较逐步缩小范围或者构造一个函数利用单调性一次性解决。这道题的具体情况根据我的复盘最有效的策略是先找中间量缩小范围再对接近的两个量用作商法精算。这个策略的好处是先用低成本的方法排除掉明显不对的选项再集中火力攻克剩下的。3.3 第三步构造函数判断单调性对于最难比较的那一对量如果作差和作商都不太顺手那就上构造函数这个大招。具体做法是把要比较的两个量看成某个函数 $f(x)$ 在两个不同点处的函数值然后研究 $f(x)$ 的单调性。如果 $f(x)$ 在相关区间上单调递增那么自变量大的函数值就大反之亦然。构造函数的难点在于怎么构造。我的经验是把两个量的共同结构提取出来把差异部分设为自变量。比如两个量都含有 $\frac{\ln x}{x}$ 这样的结构那就可以令 $f(x) \frac{\ln x}{x}$然后研究这个函数的单调性。$f(x) \frac{\ln x}{x}$ 这个函数在高中阶段出现的频率极高它的单调性值得单独记一下求导得 $f(x) \frac{1 - \ln x}{x^2}$当 $0 x e$ 时 $f(x) 0$函数递增当 $x e$ 时 $f(x) 0$函数递减。也就是说这个函数在 $x e$ 处取得最大值。记住这个结论很多比较大小的题目都能秒杀。这道题里如果出现了类似结构直接套用即可。3.4 第四步验证选项锁定答案算出大小关系之后最后一步是对照选项。这一步看似简单但有个坑有些选项的表述是充分不必要或者必要不充分的如果你只验证了大小关系没有仔细读选项的措辞可能会选错。我的做法是把四个选项逐一对照自己算出的大小关系能直接排除的立刻划掉剩下的选项如果表述上有细微差别就回到题目条件再确认一遍。选择题的压轴题往往在选项措辞上做文章读题要慢下笔要快。4. 考场上的时间分配与取舍策略4.1 这道题应该花多少时间选择题第十二题是压轴选择难度定位就是大部分同学做不出来或者做得很慢。所以时间分配上要有清醒的认识如果三分钟内没有清晰的思路果断跳过先把后面的题做完再回来。我见过太多同学在这道题上死磕十分钟结果后面的大题没时间做因小失大。选择题一道题5分大题一道题12分时间应该优先给大题。这道题的正确策略是第一遍快速扫一眼有思路就做没思路就标记跳过等所有题都做完一遍之后再回来集中攻克。如果回来之后还是没思路那就用特殊值法或排除法蒙一个。选择题的好处是有选项可以参考哪怕不会做也有25%的蒙对概率。但蒙也要蒙得有技术含量——先排除掉明显不可能的选项在剩下的里面选。4.2 特殊值法在这道题上的应用特殊值法是选择题的作弊器用好了能省大量时间。具体到这道题如果题目中的量含有参数或者可以取特殊值那就代入几个好算的数试试。比如如果题目涉及的是 $\log_2 3$ 和 $\log_3 4$ 这类量你可以代入一些近似值来估算$\log_2 3 \approx 1.585$$\log_3 4 \approx 1.262$。有了近似值大小关系一目了然。当然特殊值法只能用来验证或排除不能作为严格的证明过程。但在考场上选择题只需要选对答案不需要写过程所以特殊值法是完全合法的应试手段。提示用特殊值法的时候要注意选取的值不能太特殊否则可能恰好落在临界点上导致判断错误。最好选两到三组不同的值交叉验证。4.3 排除法的使用技巧排除法的核心是找反例。对于每个选项尝试构造一个满足题目条件但不满足该选项的例子。如果能构造出来这个选项就是错的。这道题的选项设计通常会有两个明显错、一个迷惑项、一个正确项。明显错的选项往往在数值范围上就有问题比如把大于写成小于或者把两个量的顺序搞反。迷惑项则通常是在临界值附近做文章需要精确计算才能排除。我的建议是先用排除法干掉两个明显错的然后在剩下的两个里面选。如果时间充裕就精确计算确认如果时间紧张就凭直觉选一个——但直觉也要建立在平时大量练习的基础上。5. 这类题目的通用解题框架5.1 对数比较大小题的三步走流程做了足够多的题之后我总结出一个通用的三步走流程适用于绝大多数对数比较大小的题目第一步统一形式。把所有对数换成同一底数能化简的化简到底。这一步的目标是让所有量长得像方便后续比较。第二步粗判范围。用估算或找中间量的方法先把每个量的大致范围确定下来。比如某个量在1到2之间另一个在2到3之间那大小关系立刻就有了。第三步精算确认。对于范围重叠、无法粗判的量用作差、作商或构造函数的方法精确比较。这一步是硬功夫需要扎实的运算能力。这三步走下来90%以上的对数比较大小题都能解决。剩下的10%是命题人故意设置的陷阱题需要额外的技巧但那些题在高考中出现的频率很低。5.2 常见陷阱与规避方法对数比较大小的题目命题人最喜欢设置的陷阱有这么几个陷阱一底数在0到1之间。当底数 $0 a 1$ 时对数函数是递减的很多同学习惯性地按递增来处理导致不等号方向搞反。规避方法每次看到对数先确认底数是大于1还是小于1。陷阱二真数含有变量或表达式。真数不是简单的数字而是一个表达式时需要先判断这个表达式的正负和范围。规避方法先分析真数的取值范围再比较对数。陷阱三选项之间的差异极小。命题人故意把两个选项的数值设得非常接近靠估算无法区分。规避方法遇到这种情况必须精确计算不能偷懒。陷阱四题目条件中的隐含信息。有些题目会在条件里埋一个所有量都大于1或者所有量都小于1的信息这个信息往往能大幅简化比较过程。规避方法读题时把每个条件都圈出来不要漏掉。5.3 从这道题能学到什么通用能力这道题表面上考的是对数运算实际上考的是三种能力第一种是形式转化能力。把不同形式的量统一成同一种形式这是数学中极其重要的思想方法。不只是对数题很多代数题、几何题都用到这个思想。第二种是策略选择能力。面对一个问题知道有哪几种方法可用并且能快速判断哪种方法最有效。这种能力不是天生的是靠大量练习积累出来的题感。第三种是精确计算能力。思路对了但算错了等于零。高考数学对计算能力的要求很高平时练习时一定要动手算不能只看不算。这三种能力不仅对高考有用对以后学习更高级的数学也至关重要。所以这道题值得反复琢磨不是做完一遍就扔。6. 常见问题与排查技巧实录6.1 换底之后越算越复杂怎么办这是很多同学的通病。换底公式用完之后式子变得很长然后就开始硬算越算越乱。我的排查思路是换底之后先别急着算先观察有没有可以约分或合并的项。比如 $\frac{\ln 8}{\ln 2}$不要急着算 $\ln 8$ 和 $\ln 2$ 的近似值先看出 $\ln 8 3\ln 2$直接约掉得3。这种先化简再计算的习惯能省大量时间。如果换底之后确实没有明显的化简空间那就考虑换一种底数试试。有时候换自然对数很复杂换成以某个题目中出现的数为底反而能约掉很多项。6.2 中间量选不好导致绕远路找中间量的时候选1还是选0选 $\frac{1}{2}$ 还是选 $\frac{3}{2}$会直接影响后续的难度。我的经验是优先选1。因为1在对数运算中有特殊地位——$\log_a a 1$很多对数式天然就能和1比较。如果1不好用再考虑选0或者其他的数。另外中间量不一定只能选一个。有时候需要选两个中间量把范围卡得更紧。比如证明 $A B$可以先证明 $A 1$ 且 $B 1$一步到位。如果 $A$ 和 $B$ 都在1附近那就需要更精细的中间量。6.3 考场上紧张导致计算失误这是最可惜的失分原因。明明思路是对的但一紧张把 $\ln 2$ 算成了0.693以外的数或者把不等号方向搞反了。我的建议是平时练习时就要模拟考场环境限时做题做完之后自己批改。这样到了真正考试的时候心态会稳很多。另外计算的时候尽量写清楚步骤不要跳步。跳步是计算失误的最大来源。如果考场上真的紧张到脑子一片空白那就先深呼吸把题目重新读一遍从最简单的部分开始做。做出一道小题之后信心会慢慢回来。6.4 常见错误速查表错误类型具体表现纠正方法底数判断错误把 $0a1$ 的递减当成递增每次先确认底数范围换底不化简换底后直接硬算浪费时间先观察约分和合并的可能中间量选错选了不好用的中间量绕远路优先选1其次选0作商忘判正负分母为负时不等号方向搞反作商前先确认分母正负选项读错把充分和必要搞混读选项时圈出关键词计算跳步心算导致低级错误写清楚每一步不跳步这张表里的每一条都是我在实际教学和做题中反复见到的。你可以把它打印出来贴在书桌上每次做错题就对照一下看看自己踩了哪个坑。6.5 一个容易被忽略的提分技巧最后分享一个我个人的经验把这道题的解题过程完整地讲给别人听。找一个同学或者对着空气把这道题从读题到选答案的全过程讲一遍。讲的过程中你会发现自己哪些地方其实没想清楚哪些地方是蒙过去的。这个方法叫费曼学习法核心原理是输出倒逼输入。你以为自己会了但一讲就卡壳说明你其实没真会。讲一遍之后再回头补上卡壳的地方这道题才算真正吃透。我在带学生的时候经常让他们互相讲题。讲得清楚的同学考试时这类题基本不会错讲不清楚的往往就是考场上失分的那批人。所以别偷懒讲出来。7. 从这道题延伸出去的复习建议7.1 对数专题的复习重点如果你在做这道题的时候感到吃力说明对数这一块的基础还不够扎实。我的建议是花两到三天时间专门攻克对数专题。重点复习以下内容对数的定义和基本性质包括换底公式对数函数的图像和单调性对数方程和对数不等式的解法对数与指数的互化对数在比较大小中的应用复习的时候不要只看不练。每复习一个知识点就找五到十道对应的题目练手。练完之后对答案错的题标记出来第二天再做一遍。7.2 比较大小题型的专项训练比较大小是高考数学的高频考点不只出现在对数题里指数、幂函数、三角函数都可能涉及。建议做一次专项训练把近五年的高考真题和模拟题中所有比较大小的题目集中做一遍。做的时候注意总结哪些题用作差法哪些用作商法哪些用中间量哪些用构造函数。总结出规律之后你会发现这类题其实套路很固定。7.3 考场心态的调整方法最后说一点心态上的东西。选择题第十二题做不出来是正常的做出来是赚到的。不要因为这一道题影响后面的发挥。我的建议是把这道题当成加分题而不是必得分题。心态放平之后反而更容易想出思路。考场上最怕的就是这道题我必须做出来的执念执念一起脑子就僵住了。平时练习的时候可以刻意训练自己跳过难题的能力。遇到卡壳的题果断标记跳过做完后面的再回来。这种战略性放弃的能力往往比多做对一道题更重要。这道2020年的选择题放到今天来看依然是一道很好的练习题。它不偏不怪考的都是核心知识点但就是能把你卡住。这种题值得反复做反复琢磨。等你哪天能把它的每一步都讲得清清楚楚你对对数运算的理解就上了一个台阶。
