点DDD是三角形△ABC\triangle ABC△ABC边BCBCBC上的一点.III,I1I_1I1和I2I_2I2分别为三角形△ABC\triangle ABC△ABC,△ABD\triangle ABD△ABD和△ACD\triangle ACD△ACD的内心.MMM和NNN分别为三角形△ABC\triangle ABC△ABC的外接圆与三角形△IAI1\triangle IAI_1△IAI1和△IAI2\triangle IAI_2△IAI2的外接圆的交点 (且M≠AM\neq AMA,N≠AN\neq ANA). 证明: 无论点DDD如何, 直线MNMNMN均经过固定点. (2014年伊朗国家队选拔赛第8题)证明:先证明∠AMI∠ANIπ2\angle AMI\angle ANI\frac{\pi}{2}∠AMI∠ANI2π. (略)设AIAIAI交(ABC)(ABC)(ABC)于点YYY,XXX是YYY的对径点,A′AA′是AAA的对径点. 延长XIXIXI交(ABC)(ABC)(ABC)于点SSS, 延长A′IAIA′I交(ABC)(ABC)(ABC)于点LLL. 设ASASAS交LYLYLY于点KKK. 分别延长MIMIMI,NININI交(ABC)(ABC)(ABC)于点M′MM′,N′NN′.下面证明MNMNMN恒过定点KKK.则∠M′YN′∠M′YI∠N′YI∠AMI∠ANIπ2\angle MYN \angle MYI\angle NYI \angle AMI\angle ANI \frac{\pi}{2}∠M′YN′∠M′YI∠N′YI∠AMI∠ANI2π.M′N′MNM′N′为(ABC)(ABC)(ABC)的直径.由于M′N′MNM′N′,XYXYXY,AA′AAAA′共点于OOO, 由迪沙格定理,MNMNMN,ASASAS,LYLYLY共点. 显然所共的点是KKK. 证毕.
点DDD是三角形△ABC\triangle ABC△ABC边BCBCBC上的一点.III,I1I_1I1和I2I_2I2分别为三角形△ABC\triangle ABC△ABC,△ABD\triangle ABD△ABD和△ACD\triangle ACD△ACD的内心.MMM和NNN分别为三角形△ABC\triangle ABC△ABC的外接圆与三角形△IAI1\triangle IAI_1△IAI1和△IAI2\triangle IAI_2△IAI2的外接圆的交点 (且M≠AM\neq AMA,N≠AN\neq ANA). 证明: 无论点DDD如何, 直线MNMNMN均经过固定点. (2014年伊朗国家队选拔赛第8题)证明:先证明∠AMI∠ANIπ2\angle AMI\angle ANI\frac{\pi}{2}∠AMI∠ANI2π. (略)设AIAIAI交(ABC)(ABC)(ABC)于点YYY,XXX是YYY的对径点,A′AA′是AAA的对径点. 延长XIXIXI交(ABC)(ABC)(ABC)于点SSS, 延长A′IAIA′I交(ABC)(ABC)(ABC)于点LLL. 设ASASAS交LYLYLY于点KKK. 分别延长MIMIMI,NININI交(ABC)(ABC)(ABC)于点M′MM′,N′NN′.下面证明MNMNMN恒过定点KKK.则∠M′YN′∠M′YI∠N′YI∠AMI∠ANIπ2\angle MYN \angle MYI\angle NYI \angle AMI\angle ANI \frac{\pi}{2}∠M′YN′∠M′YI∠N′YI∠AMI∠ANI2π.M′N′MNM′N′为(ABC)(ABC)(ABC)的直径.由于M′N′MNM′N′,XYXYXY,AA′AAAA′共点于OOO, 由迪沙格定理,MNMNMN,ASASAS,LYLYLY共点. 显然所共的点是KKK. 证毕.
