考研高数证明题拉格朗日中值定理证明 导数极限定理题目(I)证明拉格朗日中值定理若函数f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续在(a,b)(a,b)(a,b)内可导则存在ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b)使得f(b)−f(a)f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)f(\xi)(b-a)f(b)−f(a)f′(ξ)(b−a)(II)证明若函数f(x)f(x)f(x)在x0x0x0处连续在(0,δ)(δ0)(0,\delta)(\delta0)(0,δ)(δ0)内可导且limx→0f′(x)A\lim\limits_{x\to 0^} f(x)Ax→0limf′(x)A则f′(0)f_(0)f′(0)存在且f′(0)Af_(0)Af′(0)A。核心思路结论1拉格朗日中值定理证明构造辅助函数使用罗尔定理。罗尔定理要求闭区间连续、开区间可导、端点函数值相等。结论2第二问为导数极限定理右导数版本使用拉格朗日中值定理联系增量与导数值再取极限。结论3右导数定义f′(0)limx→0f(x)−f(0)x−0f_(0)\lim\limits_{x\to0^}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}f′(0)x→0limx−0f(x)−f(0)。(I) 证明拉格朗日中值定理构造辅助函数φ(x)f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a) \varphi(x)f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)φ(x)f(x)−f(a)−b−af(b)−f(a)(x−a)验证罗尔定理三个条件φ(x)\varphi(x)φ(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]连续f(x)f(x)f(x)连续后面一次多项式连续相减仍然连续。φ(x)\varphi(x)φ(x)在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导f(x)f(x)f(x)可导多项式可导。端点值φ(a)f(a)−f(a)−00 \varphi(a)f(a)-f(a)-00φ(a)f(a)−f(a)−00φ(b)f(b)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(b−a)0 \varphi(b)f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)0φ(b)f(b)−f(a)−b−af(b)−f(a)(b−a)0φ(a)φ(b)0\boldsymbol{\varphi(a)\varphi(b)0}φ(a)φ(b)0满足罗尔定理全部条件。由罗尔定理存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)使得φ′(ξ)0\boldsymbol{\varphi(\xi)0}φ′(ξ)0。求导φ′(x)f′(x)−f(b)−f(a)b−a \varphi(x)f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}φ′(x)f′(x)−b−af(b)−f(a)代入xξx\xixξφ′(ξ)f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a0 \varphi(\xi)f(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}0φ′(ξ)f′(ξ)−b−af(b)−f(a)0整理f(b)−f(a)f′(ξ)(b−a) f(b)-f(a)f(\xi)(b-a)f(b)−f(a)f′(ξ)(b−a)拉格朗日中值定理证毕。(II) 证明导数极限定理右导数已知条件f(x)f(x)f(x)在x0x0x0连续在(0,δ)(0,\delta)(0,δ)内可导limx→0f′(x)A\lim\limits_{x\to0^}f(x)Ax→0limf′(x)A任取x0∈(0,δ)x_0\in(0,\delta)x0∈(0,δ)在区间[0,x0][0,x_0][0,x0]上使用拉格朗日中值定理存在ξ∈(0,x0)\xi\in(0,x_0)ξ∈(0,x0)满足f(x0)−f(0)x0−0f′(ξ) \frac{f(x_0)-f(0)}{x_0-0}f(\xi)x0−0f(x0)−f(0)f′(ξ)令x0→0x_0\to0^x0→0因为0ξx00\xix_00ξx0夹逼准则可得ξ→0\boldsymbol{\xi\to0^}ξ→0。对等式两边同时取x0→0x_0\to0^x0→0的极限limx0→0f(x0)−f(0)x0limξ→0f′(ξ) \lim_{x_0\to0^}\frac{f(x_0)-f(0)}{x_0} \lim_{\xi\to0^} f(\xi)x0→0limx0f(x0)−f(0)ξ→0limf′(ξ)左边就是右导数定义f′(0)f_(0)f′(0)题目已知limx→0f′(x)A\lim\limits_{x\to0^}f(x)Ax→0limf′(x)A右边极限等于AAA。f′(0)A f_(0)Af′(0)A命题得证。易错点总结辅助函数构造思路曲线减去连接(a,f(a)),(b,f(b))(a,f(a)),(b,f(b))(a,f(a)),(b,f(b))的弦保证两端点函数值都是0适配罗尔定理。第二问不能直接使用洛必达洛必达需要分子分母极限为0同时要求**x0x0x0附近导数存在**但不能直接说limf′(x)\lim f(x)limf′(x)等于导数必须借助拉格朗日中值定理证明。逻辑关键点x0→0x_0\to0^x0→0时中间值ξ\xiξ跟着趋向00^0这一步是中值定理取极限的核心。这个结论叫导数极限定理导函数在一点的极限存在则该点单侧导数等于这个极限。反过来不成立导数存在不能推出导函数极限存在。
考研高数证明题拉格朗日中值定理证明 导数极限定理题目(I)证明拉格朗日中值定理若函数f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续在(a,b)(a,b)(a,b)内可导则存在ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b)使得f(b)−f(a)f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)f(\xi)(b-a)f(b)−f(a)f′(ξ)(b−a)(II)证明若函数f(x)f(x)f(x)在x0x0x0处连续在(0,δ)(δ0)(0,\delta)(\delta0)(0,δ)(δ0)内可导且limx→0f′(x)A\lim\limits_{x\to 0^} f(x)Ax→0limf′(x)A则f′(0)f_(0)f′(0)存在且f′(0)Af_(0)Af′(0)A。核心思路结论1拉格朗日中值定理证明构造辅助函数使用罗尔定理。罗尔定理要求闭区间连续、开区间可导、端点函数值相等。结论2第二问为导数极限定理右导数版本使用拉格朗日中值定理联系增量与导数值再取极限。结论3右导数定义f′(0)limx→0f(x)−f(0)x−0f_(0)\lim\limits_{x\to0^}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}f′(0)x→0limx−0f(x)−f(0)。(I) 证明拉格朗日中值定理构造辅助函数φ(x)f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a) \varphi(x)f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)φ(x)f(x)−f(a)−b−af(b)−f(a)(x−a)验证罗尔定理三个条件φ(x)\varphi(x)φ(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]连续f(x)f(x)f(x)连续后面一次多项式连续相减仍然连续。φ(x)\varphi(x)φ(x)在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导f(x)f(x)f(x)可导多项式可导。端点值φ(a)f(a)−f(a)−00 \varphi(a)f(a)-f(a)-00φ(a)f(a)−f(a)−00φ(b)f(b)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(b−a)0 \varphi(b)f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)0φ(b)f(b)−f(a)−b−af(b)−f(a)(b−a)0φ(a)φ(b)0\boldsymbol{\varphi(a)\varphi(b)0}φ(a)φ(b)0满足罗尔定理全部条件。由罗尔定理存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)使得φ′(ξ)0\boldsymbol{\varphi(\xi)0}φ′(ξ)0。求导φ′(x)f′(x)−f(b)−f(a)b−a \varphi(x)f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}φ′(x)f′(x)−b−af(b)−f(a)代入xξx\xixξφ′(ξ)f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a0 \varphi(\xi)f(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}0φ′(ξ)f′(ξ)−b−af(b)−f(a)0整理f(b)−f(a)f′(ξ)(b−a) f(b)-f(a)f(\xi)(b-a)f(b)−f(a)f′(ξ)(b−a)拉格朗日中值定理证毕。(II) 证明导数极限定理右导数已知条件f(x)f(x)f(x)在x0x0x0连续在(0,δ)(0,\delta)(0,δ)内可导limx→0f′(x)A\lim\limits_{x\to0^}f(x)Ax→0limf′(x)A任取x0∈(0,δ)x_0\in(0,\delta)x0∈(0,δ)在区间[0,x0][0,x_0][0,x0]上使用拉格朗日中值定理存在ξ∈(0,x0)\xi\in(0,x_0)ξ∈(0,x0)满足f(x0)−f(0)x0−0f′(ξ) \frac{f(x_0)-f(0)}{x_0-0}f(\xi)x0−0f(x0)−f(0)f′(ξ)令x0→0x_0\to0^x0→0因为0ξx00\xix_00ξx0夹逼准则可得ξ→0\boldsymbol{\xi\to0^}ξ→0。对等式两边同时取x0→0x_0\to0^x0→0的极限limx0→0f(x0)−f(0)x0limξ→0f′(ξ) \lim_{x_0\to0^}\frac{f(x_0)-f(0)}{x_0} \lim_{\xi\to0^} f(\xi)x0→0limx0f(x0)−f(0)ξ→0limf′(ξ)左边就是右导数定义f′(0)f_(0)f′(0)题目已知limx→0f′(x)A\lim\limits_{x\to0^}f(x)Ax→0limf′(x)A右边极限等于AAA。f′(0)A f_(0)Af′(0)A命题得证。易错点总结辅助函数构造思路曲线减去连接(a,f(a)),(b,f(b))(a,f(a)),(b,f(b))(a,f(a)),(b,f(b))的弦保证两端点函数值都是0适配罗尔定理。第二问不能直接使用洛必达洛必达需要分子分母极限为0同时要求**x0x0x0附近导数存在**但不能直接说limf′(x)\lim f(x)limf′(x)等于导数必须借助拉格朗日中值定理证明。逻辑关键点x0→0x_0\to0^x0→0时中间值ξ\xiξ跟着趋向00^0这一步是中值定理取极限的核心。这个结论叫导数极限定理导函数在一点的极限存在则该点单侧导数等于这个极限。反过来不成立导数存在不能推出导函数极限存在。
