自然常数 e 与欧拉恒等式

一、导数1.1 状态量状态量是用来描述某个现象当前状态的量往往是一种物理量、经济量或工程量。例如竹子的高度、汽车的位置、电容两端的电压、银行账户中的金额都可以看作状态量。现象状态量状态量的一个取值竹子生长的高度高度竹子 1 天生长了 1m汽车运动的位置位置汽车 1h 跑了 20km电路的电压 / 电流电压、电流电容在 1s 后电压为 1V银行存款金额存款 100 元1 年后得到 110 元比如我们说竹子的高度 1m1m 就是一个状态量。1.2 变化率假设竹子的生长高度函数是比如就是意味着竹子生长到 1h 时间后长度为 1.5m。1.2.1 间隔 1h 期间的平均生长速度我们先不讨论微分。我们希望先得到 1h 到 2h 这段时间内竹子的平均生长速度。我们测得两个状态量1h 的竹子的高度为 1.5m2h 的高度为 1.6m也就是说平均每 h 长高 0.1m这段时间内平均生长速度就是 0.1m/h 了。1.2.2 间隔 0.5h 期间的平均生长速度再去测量计算就得到这段 0.5h 间隔内平均生长速度单位为 m/h。1.2.3 瞬时变化率我们不如直接将这个间隔时间求的无限地小这就是真正的瞬时速度了而不是某一段时间的平均速度单位同样为 m/h。位置的导数就是速度是指当时间间隔趋近于 0 时位置增量与时间增量的比值。1.3 单位状态量的变化率单位状态量的变化率是指状态量的变化率与状态量之间的比值。比如某一时刻竹子的高度是竹子的瞬时生长速度为那么单位状态量的变化率为其物理意义就是竹子每小时增长自己当前高度的 5%。单位状态量的变化率 生长速度 / 生长高度。二、自然常数 e2.1 竹子生长问题我们假设增长速度为100%/y/m也就是竹子每年增长自身的 100%2.1.1 只增长一次2.2.2 每月增长一次2.2.3 每天增长一次2.2.4 无限次增长2.2 e 的定义至此我们得到了欧拉常数。对于一个单位状态量的变化率是固定值 100% 的系统e 代表了在一个单位时间内连续的翻倍增长所能达到的极限值。比如说你存 1 块钱给银行银行的年利率是 100%如果一年存一次可获得 2 元如果存 12 次可获得 2.613 元如果存无限多次最多也只能获得 e 元。更深刻一点的说e 描述了连续体变化 (增长或衰减) 的一种状态而自然界中大部分事物变化发展是接近这种状态的这也就是为什么很多状态曲线呈现指数样式的原因所在。简单一句话e 代表了变化的连续。三、复数3.1 虚轴如下图所示我们引入虚数轴的概念在复平面内乘以 i 等价于逆时针旋转 90°横轴是实数轴竖轴是虚数轴。比如实数 4乘一次 i 可得再乘一次就转到了负数所以乘 i 的意义就是将数字逆时针旋转 90°。3.2 二维矢量变换假设我们有一个坐标 (a,b)转化为复数坐标得乘 i 旋转 90°也就是坐标从 (a,b) 转化为 (-b,a)这正好就是二维平面里逆时针旋转 90° 的结果。四、欧拉恒等式4.1 引入欧拉恒等式指数函数的泰勒展开是我们将其推广到复数域它的幂每四次循环一次去掉分子上的括号可得我们知道 sin 和 cos 的的泰勒展开是由指数的泰勒展开和 sin 和 cos 的泰勒展开可得当的时候我们可知4.2 向量的二维旋转4.2.1 把二维点写成复数平面上的点或向量把二维点写成复数x 实部 横坐标y 虚部 纵坐标4.2.2 旋转因子旋转角度 θ 的单位复数是它在复平面上表示一个长度为 1与正实轴 (0°) 夹角为 θ 的角。所以旋转后的点z 原来的向量z 旋转后的新点展开一下因为所以于是实部、虚部分别是这就刚好等价于矩阵旋转