方程的根与伽罗瓦群

一: 序言算算术和解方程其难度是不一样的.有一种计算,是不对称的, 比如你想好了一个数3, 让我猜, 我肯定不知道了,会问,给个提示吧?你心里算了一下: 3*53*3*38 32你说 这个数乘以5,再加上这个数的3次方再加上8等于32, 你猜这个数是多少?我于是会列出这个式子:5x x^3 8 32用一个数做乘法,加法是很容易的.(即验证一个数是否是根是很容易的).但从这个等式中找到解则是很不容易的.这在数学上叫解方程.含有未知数的等式叫方程. 使等式成立的数叫方程的根求方程根的过程叫解方程.解方程就是要通过因式分解,配方,替换,等式基本性质等方法得到解的过程.二: 方程根的性质.对于一般n此方程, 其系数为整数, 其根按照代数基本定理为n个.这n个根(x1,x2,....xn),就构成一个群.这n个根不是随便的n 个数, 而是它们的相互关系要满足韦达定理. 就是说它们相互加乘以后会等于方程的系数.但反过来不一定成立, 就是说方程的系数一顿加乘之后不一定能得到方程的根.为什么?现在我们知道因为方程的系数域是最小的域有理数域, 系数加乘以后还是有理数域. 而根域是代数数域,比系数域大.例如x^22, 其根是无理数, 就不在有理数域. 若想此方程有解,需要把√2扩进来. 扩域后为Q(√2)这个扩域为正规扩域,扩张系数为2.同理,要想一般一元2次方程有解,需要扩域√2,√3,... √n, 每一次都是正规扩域.为了使x^2-1有解,还要把i扩进来,i^2-1伽罗华给出了证明,如此扩域后,一元二次方程都有根式解.伽罗华还给出证明,不停的扩域后,包括开3次方, 开四次方这些数都扩进来, 一元三次方程和一元四次方程都有根式解.怎么证明的? 我现在也不懂. 慢慢再看.而到了一元五次方程, 无论你怎么扩开n次方的域, 都填不满根域了,因为你扩的域开n次方的域只是可根式域,而根域在代数数域,举个例子,虽然是马后炮,但不妨碍理解.x5-x-10; 你无论如何也写不出它的解, 就是说你没法用有理数加根式的方式写出解.虽然解是存在的. 但你写不出来. 所以这个方程就没有根式解至于为什么到了5次方,根域开始弥漫到代数数,这要看伽罗华怎么说了.还要补充一下,根式数到代数数只是一个小小的扩张, 从代数数到实数是一个更大的扩张,它把不连续的代数数,扩张到了连续的实数,其中填充的是超越数,代数数和超越数构成了连续的实数从代数数域到实数域是一个不规则扩张, 实数域是一个连续的数域而代数数域是不连续的.代数数域是一个可数的无穷大.欧拉把不是代数数的实数(考察对象为实数域时)或者复数(考察对象是复数域时)叫超越数超越数填满了可数无穷大到不可数无穷大之间的缝隙. 可以想象超越数比代数数多很多.三: 伽罗华群.群与数域的对应方程的根构成群, 二次方程构成S2群, 三次方程构成S3群,4次方程构成S4群, 5次S5群,....n次Sn群.这里不重复群的定义,群是一个小团体,并且元素可以相互运算. 根的乘法运算定义为根的置换. 其特性是在不同的根置换下, 韦达定理定义的加乘等式依然成立. 有这种性质的小团体才配称为方程的根. 这种不同的置换一共有n!个.我们找到一个伽罗华函数:Vk1x1k2x2k3x3...knxn精心选择这些系数k, 使得n!次根置换会得到n!个V. 叫做v1,v2,.... vn!v1,v2,vn 这些值重复性越高越好,这样表达式就会简化.如果n4则一定可解.构造一个n!次方的表达式:p(y)(y-v1)(y-v2)...(y-vn!), 这个多项式,可能是可分解的也可能不可分解或部分不可分解.是否可分解完全看数域, 在复数域内是完全可以分解的.(只不过超越数你不能精确表达,非根式数都不能精确表达)考察一个不可约部分 (y-v1)(y-v2) 或 (y^2-(v1v2)v1y2)那个不动置换和将V1,V2进行交换的根的置换构成一个群(这是可以证明的), v1,v2不动置换和v,v2交换置换都不会变更这个不可约的函数值.一般的,p(y)中不可约部分其根构成一个群,叫伽罗华群, 记为G(y), G(y)0 叫伽罗华可分解.对于一元n次方程,有可能G(y)很大, p(y)完全不可约, 这就叫在此数域下无解.我们一般不用费力去构造p(y),根据根也能判定伽罗华群. 例如x^22, 在有理数域无根, 此时群为(1),(12), 实数域有根,此时群为(1)命题:如果方程式在一个数域中的群是一个元数为质数的循环正置换群,则此方程式必可根式解.