基于流体力学复习数学：积分

1 积分的定义积分integral包括不定积分indefinite integral和定积分definite integral两类。1.1 不定积分不定积分为求导的逆过程。其中F(x) 称为 f(x) 的原函数f(x) 称为被积函数x 称为积分变量C 为任意常数。若需要确定常数 C 的取值必须明确原函数的约束条件。例如规定原函数经过某个特定的点。很多常用函数多项式、三角函数、指数函数等有现成的不定积分结果具体可参考高等数学资料。不是所有函数均存在原函数。存在原函数的基本前提为被积函数是连续的且仅存在有限个间断点。1.2 定积分定积分概念的提出来自于此类问题三个变量之间关系为 zy*x 如果 y 和 x 之间存在函数关系 yf(x) 如何计算在 x 的某个区间内z 的变化量根据导数和不定积分的定义可知z 为 y 的原函数y 为 z 的导数。此类问题可通过黎曼求和Riemann summation的方式进行近似计算。在区间 (a, b) 内将整个区间等分为 n 份则每个子区间的长度均为对每个子区间按照统一规则取区间内某个特定的函数值。此函数值记为在区间 (a, b) 内黎曼和为定积分为区间 (a,b) 趋近于无限细分时的黎曼和极限根据牛顿-莱布尼茨公式定积分可基于不定积分的结果运算1.3 多重积分由于偏微分中对不同变量求导结果不同因此无法直接计算多变量函数的不定积分。仅能根据逻辑关系表述两个变量之间为积分关系。对于不止一个变量的函数可将定积分概念扩展到多维空间引出多重积分mutiple integral的概念。将黎曼求和从一维推广到任意维度积分区间为多维空间中某个特定区域则多重积分可定义为对于二重积分和三重积分dV 分别称为面积微元和体积微元。多重积分的计算可分解为依次计算定积分的过程复杂区域的面积和体积可采用多重积分计算2 在流体力学中的相关概念流体力学中不定积分在工程中用得很少主要是定积分和多重积分。多重积分主要应用局限在二重积分和三重积分更高维度的多重积分很少见。定积分应用如已知速度变化规律求某个时间段的位移。多重积分应用如已知密度分布求总质量。2.1 物理量的分类物理量通常可分为广延量和强度量两个类别。广延量extensive property表明了研究对象的系统总体特征可针对系统不同部分进行求和计算。常见的广延量包括质量、能量、动量等。部分广延量在某些特定前提下总量是固定的物理上称为守恒。流体力学中常见守恒包括能量守恒、质量守恒、动量守恒等。针对广延量进行积分通常无实际的物理意义。强度量intensive property表明了研究对象的系统局部特征不可针对系统不同部分进行求和计算。常见的强度量包括密度、温度、速度、浓度等。强度量为广延量对时间或者空间求导的结果。如密度为质量对空间求导的结果表述了空间中的质量分布状态。2.2 单位制对于积分运算原函数的单位是被积分函数和积分变量的各自单位乘积。例如能量为功率对时间的积分能量和功率、时间之间的单位运算关系为多重积分更需要注意单位的运算问题。二重积分运算结果的单位为积分函数单位和面积的乘积三重积分运算结果的单位为积分函数单位和体积的乘积。例如经过平面的体积流量是速度在平面的二重积分体积流量和速度、面积的单位运算关系为质量为密度在空间的三重积分质量和密度、体积的单位运算关系为3 在数值计算中的处理数值计算中积分计算简化为求和运算。对于求定积分问题如计算某个时间段的积分值通常借鉴黎曼求和的思路进行计算。常用方法包括梯形法则和辛普森法则Simpson’s Rule。梯形法则采用线性插值而辛普森法则采用抛物线插值。梯形法则运算对于二重积分和三重积分基于有限体积法的程序其处理方式为上述运算中不需要每个求和基本单元如时间步长、单元面积、单元体积都是相等的。由于积分本质上是求和运算存在发散现象即结果为无穷大。此类情况无论是数学理论研究还是数值计算中都存在。在CFD仿真中一种常见做法为直接设置上下限避免数值发散。这个方式对于多数问题均有效果。