目录1、矢量的正交分解2、信号的正交分解3、傅里叶级数推导★本篇摘录“信号与系统3-傅里叶变换与频域分析”的小部分内容。1、矢量的正交分解▼两矢量V1与V2正交夹角为90°那么两正交矢量的内积为零如下图所示。图4.2.1 内积为零的原因正交矢量集由两两正交的矢量组成的矢量集合。非正交矢量的近似表示及误差用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1则误差矢量显然当两矢量V1与V2正交时c12 0即。矢量正交分解任意N维矢量可由N维正交坐标系表示。推广到n维空间n维空间的任一矢量V可以精确地示为n个正交矢量的线性组合即式中Vi*Vj 0(i ≠ j)第r个分量的系数。思路将矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间在信号空间中找到若干个相互正交的信号作为基本信号使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。2、信号的正交分解【定义】在(t1,t2)区间的两个函数φ1(t)和φ2(t)若满足(两函数的内积为0)则称φ1(t)和φ2(t)在区间(t1,t2)内正交。说明实函数正交(内积为0)正交函数集若n个函数φ1(t),φ2(t),…φn(t)构成一个函数集当这些函数在区间(t1,t2)内满足则称此函数集为在区间(t1,t2)上的正交函数集。说明如果Ki 1称为标准正交函数集。例两组典型的在区间上的完备正交函数集。三角函数集虚指数函数集对于两个连续函数来说应该如何表示正交呢▼函数在某个区间内部有无穷多个点无法直接套用内积公式。但可以借鉴积分思想将函数在一段连续区间分割成一份一份这样每一份的取值合起来就可以组成一个向量。于是可用向量的内积表示两个函数是否正交如图4.2.2所示。图4.2.2 两个函数正交当分割的区间无限小时向量变成无限维于是向量的内积就可以用积分来替代了所以两个函数的正交其实可以用积分表示。对于 sin4x 和 sin2x 求不定积分∫sin(4x)*sin(2x)dx 1/4*sin(2x)−1/12*sin(6x)C再在一个周期(-π,π)区间做定积分很显然积分值 0。▼如图4.2.3所示一个周期内其图形处于 X轴上下方的面积相等也可得出这两个函数的积分为0也就是互相正交。图4.2.3 积分值为零(m ≠ n)对于 sin4x 和 sin4x 求不定积分∫sin(4x)*sin(4x)dx 1/2*x−1/16*sin(8x)C再在在一个周期(-π,π)区间做定积分很显然积分值 π。▼如图4.2.4所示一个周期内其图形均在 X 轴上方积分大于0也就是不正交。图4.2.4 积分值非零(m n)▼如图4.2.5的∫cos(mx)*sin(nx)*dx、∫cos(mx)*cos(mx)*dx、∫sin(mx)*sin(nx)*dx的任意两个一个周期内做定积分在m ≠ n时值为零即互相正交。图4.2.5 完备的正交函数集(上海交大-乐经良《高等数学》)图4.2.3与图4.2.4的积分需要用到三角函数及其图像之八、积化和差与和差化积图4.2.5用到三角函数及其图像之1、通过和差角公式推导。3、傅里叶级数推导★考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和(比如泰勒展开之8、泰勒Taylor公式及其应用)可惜多项式并不能直观的表示周期函数。由于正余弦函数是周期函数可以考虑任意一个周期函数表示成为一系列正余弦函数之和。将上面的(1)式进行变换教课书中的表示如(3)式当前可以看到(2)式和(3)式的第一项任然不同。①首先确定的表达形式对函数f(x)积分上式利用三角函数的正交性得到了的表达式当写成时此时(2)式和(3)式便可以表示成一样了。接下来的推导中沿用教科书上的(3)式。②其次确定的表达形式将(3)式两边乘以cos(mx)再进行如下积分依据三角函数的正交性可以得到上式的形式。当m n时其三角函数仍然属于不同的根据三角函数的正交性可知结果为0。 对于(5)式当m n时则可以表示为③类似地可以得到的表达式对于(7)式当m n时则的表达式如(8)式④至此可以对一个周期为 2π 的函数进行傅里叶展开其形式为其中数学是电子工程的基础工具和理论支撑。觉得不错动动发财的小手点个赞哦
目录1、矢量的正交分解2、信号的正交分解3、傅里叶级数推导★本篇摘录“信号与系统3-傅里叶变换与频域分析”的小部分内容。1、矢量的正交分解▼两矢量V1与V2正交夹角为90°那么两正交矢量的内积为零如下图所示。图4.2.1 内积为零的原因正交矢量集由两两正交的矢量组成的矢量集合。非正交矢量的近似表示及误差用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1则误差矢量显然当两矢量V1与V2正交时c12 0即。矢量正交分解任意N维矢量可由N维正交坐标系表示。推广到n维空间n维空间的任一矢量V可以精确地示为n个正交矢量的线性组合即式中Vi*Vj 0(i ≠ j)第r个分量的系数。思路将矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间在信号空间中找到若干个相互正交的信号作为基本信号使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。2、信号的正交分解【定义】在(t1,t2)区间的两个函数φ1(t)和φ2(t)若满足(两函数的内积为0)则称φ1(t)和φ2(t)在区间(t1,t2)内正交。说明实函数正交(内积为0)正交函数集若n个函数φ1(t),φ2(t),…φn(t)构成一个函数集当这些函数在区间(t1,t2)内满足则称此函数集为在区间(t1,t2)上的正交函数集。说明如果Ki 1称为标准正交函数集。例两组典型的在区间上的完备正交函数集。三角函数集虚指数函数集对于两个连续函数来说应该如何表示正交呢▼函数在某个区间内部有无穷多个点无法直接套用内积公式。但可以借鉴积分思想将函数在一段连续区间分割成一份一份这样每一份的取值合起来就可以组成一个向量。于是可用向量的内积表示两个函数是否正交如图4.2.2所示。图4.2.2 两个函数正交当分割的区间无限小时向量变成无限维于是向量的内积就可以用积分来替代了所以两个函数的正交其实可以用积分表示。对于 sin4x 和 sin2x 求不定积分∫sin(4x)*sin(2x)dx 1/4*sin(2x)−1/12*sin(6x)C再在一个周期(-π,π)区间做定积分很显然积分值 0。▼如图4.2.3所示一个周期内其图形处于 X轴上下方的面积相等也可得出这两个函数的积分为0也就是互相正交。图4.2.3 积分值为零(m ≠ n)对于 sin4x 和 sin4x 求不定积分∫sin(4x)*sin(4x)dx 1/2*x−1/16*sin(8x)C再在在一个周期(-π,π)区间做定积分很显然积分值 π。▼如图4.2.4所示一个周期内其图形均在 X 轴上方积分大于0也就是不正交。图4.2.4 积分值非零(m n)▼如图4.2.5的∫cos(mx)*sin(nx)*dx、∫cos(mx)*cos(mx)*dx、∫sin(mx)*sin(nx)*dx的任意两个一个周期内做定积分在m ≠ n时值为零即互相正交。图4.2.5 完备的正交函数集(上海交大-乐经良《高等数学》)图4.2.3与图4.2.4的积分需要用到三角函数及其图像之八、积化和差与和差化积图4.2.5用到三角函数及其图像之1、通过和差角公式推导。3、傅里叶级数推导★考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和(比如泰勒展开之8、泰勒Taylor公式及其应用)可惜多项式并不能直观的表示周期函数。由于正余弦函数是周期函数可以考虑任意一个周期函数表示成为一系列正余弦函数之和。将上面的(1)式进行变换教课书中的表示如(3)式当前可以看到(2)式和(3)式的第一项任然不同。①首先确定的表达形式对函数f(x)积分上式利用三角函数的正交性得到了的表达式当写成时此时(2)式和(3)式便可以表示成一样了。接下来的推导中沿用教科书上的(3)式。②其次确定的表达形式将(3)式两边乘以cos(mx)再进行如下积分依据三角函数的正交性可以得到上式的形式。当m n时其三角函数仍然属于不同的根据三角函数的正交性可知结果为0。 对于(5)式当m n时则可以表示为③类似地可以得到的表达式对于(7)式当m n时则的表达式如(8)式④至此可以对一个周期为 2π 的函数进行傅里叶展开其形式为其中数学是电子工程的基础工具和理论支撑。觉得不错动动发财的小手点个赞哦
