运动学模拟与粒子系)
系列简介也许三百年前的艾萨克·牛顿爵士(Sir Issac Newton, 1643-1727)并没幻想过物理学广泛地应用在今天许多游戏、动画中。为什么在这些应用中要使用物理学笔者认为自我们出生以来一直感受着物理世界的规律意识到物体在这世界是如何正常移动例如射球时球为抛物线(自旋的球可能会做成弧线球) 、石子系在一根线的末端会以固定频率摆动等等。要让游戏或动画中的物体有真实感其移动方式就要符合我们对正常移动的预期。今天的游戏动画应用了多种物理模拟技术例如运动学模拟(kinematics simulation)、刚体动力学模拟(rigid body dynamics simulation)、绳子/布料模拟(string/cloth simulation)、柔体动力学模拟(soft body dynamics simulation)、流体动力学模拟(fluid dynamics simulation)等等。另外碰撞侦测(collision detection)是许多模拟系统里所需的。本系列希望能介绍一些这方面最基础的知识继续使用JavaScript做例子以即时互动方式体验。本文简介作为系列第一篇本文介绍最简单的运动学模拟只有两条非常简单的公式。运动学模拟可以用来模拟很多物体运动(例如马里奥的跳跃、炮弹等)本文将会配合粒子系统做出一些视觉特效(粒子系统其实也可以用来做游戏的玩法而不单是视觉特效)。运动学模拟运动学(kinematics)研究物体的移动和动力学(dynamics)不同之处在于运动学不考虑物体的质量(mass)/转动惯量(moment of inertia)以及不考虑加之于物体的力(force )和力矩(torque)。我们先回忆牛顿第一运动定律:当物体不受外力作用或所受合力为零时原先静止者恒静止原先运动者恒沿着直线作等速度运动。该定律又称为「惯性定律」。此定律指出每个物体除了其位置(position)外还有一个线性速度(linear velocity)的状态。然而只模拟不受力影响的物体并不有趣。撇开力的概念我们可以用线性加速度(linear acceleration)去影响物体的运动。例如要计算一个自由落体在任意时间t的y轴座标可以使用以下的分析解(analytical solution):当中和分别是t0时的y轴起始座标和速度而g则是重力加速度(gravitational acceleration)。这分析解虽然简单但是有一些缺点例如g是常数在模拟过程中不能改变另外当物体遇到障碍物产生碰撞时这公式也很难处理这种不连续性(discontinuity) 。在计算机模拟中通常需要计算连续的物体状态。用游戏的用语就是计算第一帧的状态、第二帧的状态等等。设物体在任意时间t的状态位置矢量为、速度矢量为、加速度矢量为。我们希望从时间的状态计算下一个模拟时间的状态。最简单的方法是采用欧拉方法(Euler method)作数值积分(numerical integration):欧拉方法非常简单但有准确度和稳定性问题本文会先忽略这些问题。本文的例子采用二维空间我们先实现一个JavaScript二维矢量类:1234567891011121314151617// Vector2.jsVector2 function(x, y) {this.x x;this.y y; };Vector2.prototype {copy :function() {returnnewVector2(this.x,this.y); },length :function() {returnMath.sqrt(this.x *this.x this.y *this.y); },sqrLength :function() {returnthis.x *this.x this.y *this.y; },normalize :function() {varinv 1/this.length();returnnewVector2(this.x * inv,this.y * inv); },negate :function() {returnnewVector2(-this.x, -this.y); },add :function(v) {returnnewVector2(this.x v.x,this.y v.y); },subtract :function(v) {returnnewVector2(this.x - v.x,this.y - v.y); },multiply :function(f) {returnnewVector2(this.x * f,this.y * f); },divide :function(f) {varinvf 1/f;returnnewVector2(this.x * invf,this.y * invf); },dot :function(v) {returnthis.x * v.x this.y * v.y; }};Vector2.zero newVector2(0, 0);然后就可以用HTML5 Canvas去描绘模拟的过程:Run Stop Clear修改代码试试看改变起始位置改变起始速度(包括方向)改变加速度这程序的核心就是step()函数头两行代码。很简单吧粒子系统粒子系统(particle system)是图形里常用的特效。粒子系统可应用运动学模拟来做到很多不同的效果。粒子系统在游戏和动画中常常会用来做雨点、火花、烟、爆炸等等不同的视觉效果。有时候也会做出一些游戏性相关的功能例如敌人被打败后会发出一些闪光主角可以把它们吸收。粒子的定义粒子系统模拟大量的粒子并通常用某些方法把粒子渲染。粒子通常有以下特性:粒子是独立的粒子之间互不影响(不碰撞、没有力)粒子有生命周期生命结束后会消失粒子可以理解为空间的一个点有时候也可以设定半径作为球体和环境碰撞粒子带有运动状态也有其他外观状态(例如颜色、影像等)粒子可以只有线性运动而不考虑旋转运动(也有例外)以下是本文例子里实现的粒子类:12345678910// Particle.jsParticle function(position, velocity, life, color, size) {this.position position;this.velocity velocity;this.acceleration Vector2.zero;this.age 0;this.life life;this.color color;this.size size;};游戏循环粒子系统通常可分为三个周期:发射粒子模拟粒子(粒子老化、碰撞、运动学模拟等等)渲染粒子在游戏循环(game loop)中需要对每个粒子系统执行以上的三个步骤。生与死在本文的例子里用一个JavaScript数组particles储存所有活的粒子。产生一个粒子只是把它加到数组末端。代码片段如下:123456789101112131415161718//ParticleSystem.jsfunctionParticleSystem() {// Private fieldsvarthat this;varparticles newArray();// Public fieldsthis.gravity newVector2(0, 100);this.effectors newArray();// Public methodsthis.emit function(particle) {particles.push(particle);};// ...}粒子在初始化时年龄(age)设为零生命(life)则是固定的。年龄和生命的单位都是秒。每个模拟步都会把粒子老化即是把年龄增加年龄超过生命就会死亡。代码片段如下:12345678910111213141516171819202122232425262728293031functionParticleSystem() {// ...this.simulate function(dt) {aging(dt);applyGravity();applyEffectors();kinematics(dt);};// ...// Private methodsfunctionaging(dt) {for(vari 0; i particles.length; ) {varp particles[i];p.age dt;if(p.age p.life)kill(i);elsei;}}functionkill(index) {if(particles.length 1)particles[index] particles[particles.length - 1];particles.pop();}// ...}在函数kill()里用了一个技巧。因为粒子在数组里的次序并不重要要删除中间一个粒子只需要复制最末的粒子到那个元素并用pop()移除最末的粒子就可以。这通常比直接删除数组中间的元素快(在C中使用数组或std::vector亦是)。运动学模拟把本文最重要的两句运动学模拟代码套用至所有粒子就可以。另外每次模拟会先把引力加速度写入粒子的加速度。这样做是为了将来可以每次改变加速度(续篇会谈这方面)。12345678910111213141516functionParticleSystem() {// ...functionapplyGravity() {for(variinparticles)particles[i].acceleration that.gravity;}functionkinematics(dt) {for(variinparticles) {varp particles[i];p.position p.position.add(p.velocity.multiply(dt));p.velocity p.velocity.add(p.acceleration.multiply(dt));}}// ...}渲染粒子可以用很多不同方式渲染例如用圆形、线段(当前位置和之前位置)、影像、精灵等等。本文采用圆形并按年龄生命比来控制圆形的透明度代码片段如下:12345678910111213141516171819functionParticleSystem() {// ...this.render function(ctx) {for(variinparticles) {varp particles[i];varalpha 1 - p.age / p.life;ctx.fillStyle rgba( Math.floor(p.color.r * 255) , Math.floor(p.color.g * 255) , Math.floor(p.color.b * 255) , alpha.toFixed(2) );ctx.beginPath();ctx.arc(p.position.x, p.position.y, p.size, 0, Math.PI * 2,true);ctx.closePath();ctx.fill();}}// ...}基本粒子系统完成以下的例子里每帧会发射一个粒子其位置在画布中间(200,200)发射方向是360度速率为100生命为1秒红色、半径为5象素。Run Stop
系列简介也许三百年前的艾萨克·牛顿爵士(Sir Issac Newton, 1643-1727)并没幻想过物理学广泛地应用在今天许多游戏、动画中。为什么在这些应用中要使用物理学笔者认为自我们出生以来一直感受着物理世界的规律意识到物体在这世界是如何正常移动例如射球时球为抛物线(自旋的球可能会做成弧线球) 、石子系在一根线的末端会以固定频率摆动等等。要让游戏或动画中的物体有真实感其移动方式就要符合我们对正常移动的预期。今天的游戏动画应用了多种物理模拟技术例如运动学模拟(kinematics simulation)、刚体动力学模拟(rigid body dynamics simulation)、绳子/布料模拟(string/cloth simulation)、柔体动力学模拟(soft body dynamics simulation)、流体动力学模拟(fluid dynamics simulation)等等。另外碰撞侦测(collision detection)是许多模拟系统里所需的。本系列希望能介绍一些这方面最基础的知识继续使用JavaScript做例子以即时互动方式体验。本文简介作为系列第一篇本文介绍最简单的运动学模拟只有两条非常简单的公式。运动学模拟可以用来模拟很多物体运动(例如马里奥的跳跃、炮弹等)本文将会配合粒子系统做出一些视觉特效(粒子系统其实也可以用来做游戏的玩法而不单是视觉特效)。运动学模拟运动学(kinematics)研究物体的移动和动力学(dynamics)不同之处在于运动学不考虑物体的质量(mass)/转动惯量(moment of inertia)以及不考虑加之于物体的力(force )和力矩(torque)。我们先回忆牛顿第一运动定律:当物体不受外力作用或所受合力为零时原先静止者恒静止原先运动者恒沿着直线作等速度运动。该定律又称为「惯性定律」。此定律指出每个物体除了其位置(position)外还有一个线性速度(linear velocity)的状态。然而只模拟不受力影响的物体并不有趣。撇开力的概念我们可以用线性加速度(linear acceleration)去影响物体的运动。例如要计算一个自由落体在任意时间t的y轴座标可以使用以下的分析解(analytical solution):当中和分别是t0时的y轴起始座标和速度而g则是重力加速度(gravitational acceleration)。这分析解虽然简单但是有一些缺点例如g是常数在模拟过程中不能改变另外当物体遇到障碍物产生碰撞时这公式也很难处理这种不连续性(discontinuity) 。在计算机模拟中通常需要计算连续的物体状态。用游戏的用语就是计算第一帧的状态、第二帧的状态等等。设物体在任意时间t的状态位置矢量为、速度矢量为、加速度矢量为。我们希望从时间的状态计算下一个模拟时间的状态。最简单的方法是采用欧拉方法(Euler method)作数值积分(numerical integration):欧拉方法非常简单但有准确度和稳定性问题本文会先忽略这些问题。本文的例子采用二维空间我们先实现一个JavaScript二维矢量类:1234567891011121314151617// Vector2.jsVector2 function(x, y) {this.x x;this.y y; };Vector2.prototype {copy :function() {returnnewVector2(this.x,this.y); },length :function() {returnMath.sqrt(this.x *this.x this.y *this.y); },sqrLength :function() {returnthis.x *this.x this.y *this.y; },normalize :function() {varinv 1/this.length();returnnewVector2(this.x * inv,this.y * inv); },negate :function() {returnnewVector2(-this.x, -this.y); },add :function(v) {returnnewVector2(this.x v.x,this.y v.y); },subtract :function(v) {returnnewVector2(this.x - v.x,this.y - v.y); },multiply :function(f) {returnnewVector2(this.x * f,this.y * f); },divide :function(f) {varinvf 1/f;returnnewVector2(this.x * invf,this.y * invf); },dot :function(v) {returnthis.x * v.x this.y * v.y; }};Vector2.zero newVector2(0, 0);然后就可以用HTML5 Canvas去描绘模拟的过程:Run Stop Clear修改代码试试看改变起始位置改变起始速度(包括方向)改变加速度这程序的核心就是step()函数头两行代码。很简单吧粒子系统粒子系统(particle system)是图形里常用的特效。粒子系统可应用运动学模拟来做到很多不同的效果。粒子系统在游戏和动画中常常会用来做雨点、火花、烟、爆炸等等不同的视觉效果。有时候也会做出一些游戏性相关的功能例如敌人被打败后会发出一些闪光主角可以把它们吸收。粒子的定义粒子系统模拟大量的粒子并通常用某些方法把粒子渲染。粒子通常有以下特性:粒子是独立的粒子之间互不影响(不碰撞、没有力)粒子有生命周期生命结束后会消失粒子可以理解为空间的一个点有时候也可以设定半径作为球体和环境碰撞粒子带有运动状态也有其他外观状态(例如颜色、影像等)粒子可以只有线性运动而不考虑旋转运动(也有例外)以下是本文例子里实现的粒子类:12345678910// Particle.jsParticle function(position, velocity, life, color, size) {this.position position;this.velocity velocity;this.acceleration Vector2.zero;this.age 0;this.life life;this.color color;this.size size;};游戏循环粒子系统通常可分为三个周期:发射粒子模拟粒子(粒子老化、碰撞、运动学模拟等等)渲染粒子在游戏循环(game loop)中需要对每个粒子系统执行以上的三个步骤。生与死在本文的例子里用一个JavaScript数组particles储存所有活的粒子。产生一个粒子只是把它加到数组末端。代码片段如下:123456789101112131415161718//ParticleSystem.jsfunctionParticleSystem() {// Private fieldsvarthat this;varparticles newArray();// Public fieldsthis.gravity newVector2(0, 100);this.effectors newArray();// Public methodsthis.emit function(particle) {particles.push(particle);};// ...}粒子在初始化时年龄(age)设为零生命(life)则是固定的。年龄和生命的单位都是秒。每个模拟步都会把粒子老化即是把年龄增加年龄超过生命就会死亡。代码片段如下:12345678910111213141516171819202122232425262728293031functionParticleSystem() {// ...this.simulate function(dt) {aging(dt);applyGravity();applyEffectors();kinematics(dt);};// ...// Private methodsfunctionaging(dt) {for(vari 0; i particles.length; ) {varp particles[i];p.age dt;if(p.age p.life)kill(i);elsei;}}functionkill(index) {if(particles.length 1)particles[index] particles[particles.length - 1];particles.pop();}// ...}在函数kill()里用了一个技巧。因为粒子在数组里的次序并不重要要删除中间一个粒子只需要复制最末的粒子到那个元素并用pop()移除最末的粒子就可以。这通常比直接删除数组中间的元素快(在C中使用数组或std::vector亦是)。运动学模拟把本文最重要的两句运动学模拟代码套用至所有粒子就可以。另外每次模拟会先把引力加速度写入粒子的加速度。这样做是为了将来可以每次改变加速度(续篇会谈这方面)。12345678910111213141516functionParticleSystem() {// ...functionapplyGravity() {for(variinparticles)particles[i].acceleration that.gravity;}functionkinematics(dt) {for(variinparticles) {varp particles[i];p.position p.position.add(p.velocity.multiply(dt));p.velocity p.velocity.add(p.acceleration.multiply(dt));}}// ...}渲染粒子可以用很多不同方式渲染例如用圆形、线段(当前位置和之前位置)、影像、精灵等等。本文采用圆形并按年龄生命比来控制圆形的透明度代码片段如下:12345678910111213141516171819functionParticleSystem() {// ...this.render function(ctx) {for(variinparticles) {varp particles[i];varalpha 1 - p.age / p.life;ctx.fillStyle rgba( Math.floor(p.color.r * 255) , Math.floor(p.color.g * 255) , Math.floor(p.color.b * 255) , alpha.toFixed(2) );ctx.beginPath();ctx.arc(p.position.x, p.position.y, p.size, 0, Math.PI * 2,true);ctx.closePath();ctx.fill();}}// ...}基本粒子系统完成以下的例子里每帧会发射一个粒子其位置在画布中间(200,200)发射方向是360度速率为100生命为1秒红色、半径为5象素。Run Stop
