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后面会有专门的一篇文章来介绍如何评估模型的表现。这里为了让大家对上一篇文章所创建的线性回归模型有一个基本的了解，先讲一些适用于线性回归模型评估的方法。

1.4.1. y与y'的均方误差(MSE)

数学公式

均方误差(Mean Square Error)公式如下：
$$MSE=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y_i^{\prime }-y_i{)}^2$$

MSE和我们之前讲过的损失函数（平方误差和公式Sum of Square Error）非常像：
$$SSE=\sum _{i=1}^m(y_i^{\prime }-y_i{)}^2$$

两者的区别在于：

• SSE是所有预测值和真实值之间的平方误差的总和，不进行归一化处理。主要用于衡量整体误差的绝对大小，适用于模型拟合质量的评估。

• MSE 是SSE除以样本数量m，即SSE的均值。它表示平均每个数据点的平方误差，能够提供误差的标准化度量，适用于模型优化和比较。

MSE越小越好，等于0时就是完美的拟合

代码实现

接下来我们来敲代码，数据和之前的代码都与上一篇文章 1.3. 线性回归实战(基础) 保持一致，这里我还是再敲一遍：

data.csv:

x,y  
0,3.4941499975136017  
1,3.2195777812087623  
2,7.020239126724705  
3,10.561179685791949  
4,11.829186585662265  
5,11.75496874167899  
6,16.58341895848982  
7,17.851195579820043  
8,18.938095976526668  
9,20.573327586269645  
10,21.402583214283524  
11,25.383074825333473  
12,26.80228829909171  
13,29.477295234061874  
14,31.491963327709488  
15,33.52264335242398  
16,32.243263034545826  
17,37.49084903752127  
18,39.72984009710374  
19,40.75882117159081

main.py:

import pandas as pd  
import matplotlib.pyplot as plt  
from sklearn.linear_model import LinearRegression  # 读取数据  
data = pd.read_csv('data.csv')  
x = data.loc[:, ['x']]  
y = data.loc[:, ['y']]  # 训练线性回归模型  
Ir_model = LinearRegression()  
Ir_model.fit(x, y)  # 获取回归系数和截距  
a = Ir_model.coef_[0][0]  # 提取数值  
b = Ir_model.intercept_[0]  # 提取数值  
print('a = ', a)  
print('b = ', b)  # 预测  
predictions = Ir_model.predict(x)  
print(predictions)  # 绘制散点图  
plt.scatter(x, y, color='blue', label='数据点')  # 绘制回归直线  
x_line = x.sort_values(by='x')  # 确保 x 排序  
y_line = a * x_line + b  # 根据模型计算 
yplt.plot(x_line, y_line, color='red', label=f'回归线: y = {a:.2f}x + {b:.2f}')  
plt.show()

为了计算MSE值，我们需要在上一篇文章的代码上增加这个部分：

from skimage.metrics import mean_squared_error# ...中间省略mse = mean_squared_error(y.to_numpy(), predictions)  
print(f'MSE: {mse:.2f}')

• mean_squared_error函数可以计算MSE值，只需要传入参数y和y'即可
• y得先使用to_numpy方法，因为mean_squared_error函数接受的参数是numpy的ndarray类型而不是pandas的DataFrame类型

输出：

MSE: 1.16

1.4.2. R方值

数学公式

R方值的计算公式为：
$$R^2=1-\frac{SSE}{SST}$$
其中SSE的公式就在上文，这里不做详细阐述；SST就是方差少了个1/m，也就是没有归一化处理的方差：
$$SST=\sum _{i=1}^m(y_i-\bar{y}{)}^2$$
把SSE和SST展开写到R方值公式中就是：
$$R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^m(y\prime i-y_i{)}^2}{\sum {i=1}^m(y_i-\bar{y}{)}^2}$$

R方值越接近1就代表效果越好，等于1时就是完美的拟合。

代码实现

为了计算R方值，我们需要在上一篇文章的代码上增加这个部分：

from sklearn.metrics import r2_score# ...中间省略# R方值计算  
r_square = r2_score(y.to_numpy(), predictions)  
print(f'R^2: {r_square:.2f}')

• r2_score函数可以计算R方值，参数是y和y'
• 由于这个函数也只能接受numpy的ndarray类型，所以也得先使用to_numpy函数

输出：

R^2: 0.99

1.4.3. 可视化

我们也可以通过画图来可视化模型的表现：

# ...前文已省略# 画散点图  
plt.scatter(y, predictions)  
plt.show()

这么写输出的x轴就代表真实值y，而y轴代表拟合出的直线预测出的值。

输出的图片：

像这样沿对角线的散点分布就代表非常好的效果，越接近y = x这条直线分布就代表效果越好。