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强化学习是一种模仿生物行为的学习方法，在不确定环境中寻找最优策略。多臂老虎机（Multi-Armed Bandit, MAB）是强化学习的经典问题之一，模拟了在多个选择中如何平衡探索和利用，以获取最大的长期回报。本篇文章将详细讲解多臂老虎机问题的理论背景、数学模型，以及如何用Python实现常见的强化学习策略（如 ε-贪婪算法、UCB 和汤普森采样）。文章包含大量代码示例与中文注释，帮助读者深入理解强化学习的核心思想，并掌握在多臂老虎机问题中的应用。

什么是多臂老虎机？
- 背景与定义
- 应用场景
强化学习与多臂老虎机的理论基础
- 奖励函数
- 探索与利用
Python实现多臂老虎机模拟环境
ε-贪婪算法
- 理论分析
- Python实现与实验
上置信界（UCB）算法
- 理论分析
- Python实现与实验
汤普森采样（Thompson Sampling）算法
- 理论分析
- Python实现与实验
策略比较与性能评估
总结与扩展

1. 什么是多臂老虎机？

1.1 背景与定义

多臂老虎机问题是一种决策优化问题，源于赌场中的老虎机场景：

假设有 ( k ) 台老虎机，每台老虎机的奖励分布未知。玩家的目标是在有限的尝试次数内选择拉动哪台老虎机的手柄，以最大化累积奖励。

数学上，多臂老虎机问题可以描述为：

( k ) 个老虎机对应 ( k ) 个概率分布 ( P_1, P_2, \ldots, P_k )。
每次选择老虎机 ( i ) 会产生一个奖励 ( r \sim P_i )。
玩家希望找到一个策略 ( \pi )，使得累计奖励最大化。

1.2 应用场景

多臂老虎机问题的应用场景包括：

广告推荐：选择显示哪种广告，以最大化点击率。
医疗试验：选择最佳治疗方法以提高疗效。
Web实验：优化网站布局以提升用户体验。

2. 强化学习与多臂老虎机的理论基础

2.1 奖励函数

在多臂老虎机问题中，奖励函数定义为：
$\sum_{t=1}^T r_t$
其中：

( r_t ) 是在第 ( t ) 次尝试中的奖励。
( T ) 是尝试的总次数。

2.2 探索与利用

多臂老虎机问题的核心挑战是**探索（Exploration）与利用（Exploitation）**之间的权衡：

探索：尝试未被充分选择的老虎机，以了解其奖励分布。
利用：选择当前已知最优的老虎机，以最大化即时奖励。

解决这一权衡需要设计策略，常见的策略包括：

ε-贪婪算法：在大多数情况下选择当前最优动作，但偶尔随机探索。
上置信界（UCB）算法：使用奖励的置信区间来指导选择。
汤普森采样（Thompson Sampling）：基于贝叶斯更新概率分布进行采样。

3. Python实现多臂老虎机模拟环境

首先，我们实现一个多臂老虎机的模拟环境，用于生成奖励。

import numpy as npclass MultiArmedBandit:"""多臂老虎机模拟环境"""def __init__(self, arms):"""初始化:param arms: 每个老虎机的中奖概率列表"""self.arms = armsself.k = len(arms)def pull(self, arm):"""拉动指定老虎机的手柄:param arm: 选择的老虎机编号（0 <= arm < k）:return: 奖励（0 或 1）"""if arm < 0 or arm >= self