深圳网络科技有限公司排名_山东东营市区号_营销推广方案包括哪些内容_域名查询ip138

1. 混合策略和期望收益的基本概念
   • 在博弈论中，混合策略是指参与者以一定的概率选择不同的纯策略。期望收益则是在考虑这些概率的情况下，参与者所能获得的平均收益。
2. 以“石头 - 剪刀 - 布”游戏为例
   • 游戏规则回顾
     • 石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头。如果双方出一样的手势，则为平局。
   • 构建收益矩阵
     • 设玩家1和玩家2进行游戏。我们可以构建一个收益矩阵来表示每个策略组合下玩家1的收益。
       • 当玩家1出石头，玩家2出石头时，玩家1收益为0（平局）；当玩家1出石头，玩家2出剪刀时，玩家1收益为1（胜利）；当玩家1出石头，玩家2出布时，玩家1收益为 - 1（失败）。
       • 同理，当玩家1出剪刀，玩家2出石头时，玩家1收益为 - 1；玩家1出剪刀，玩家2出剪刀时，收益为0；玩家1出剪刀，玩家2出布时，收益为1。
       • 当玩家1出布，玩家2出石头时，玩家1收益为1；玩家1出布，玩家2出剪刀时，收益为 - 1；玩家1出布，玩家2出布时，收益为0。
     • 收益矩阵如下：

“石头 - 剪刀 - 布”收益矩阵

玩家 1\玩家 2	石头	剪刀	布
石头	0，0	1，-1	-1，1
剪刀	-1，1	0，0	1，-1
布	1，-1	-1，1	0，0

这样的格式更加清晰、直观地展示了不同策略组合下的收益情况。

• 混合策略的设定
  • 假设玩家1以概率$p_1$选择石头，概率$p_2$选择剪刀，概率$p_3$选择布，且$p_1+p_2+p_3=1$。玩家2以概率$q_1$选择石头，概率$q_2$选择剪刀，概率$q_3$选择布，且$q_1+q_2+q_3=1$。
• 计算玩家1的期望收益
  • 玩家1的期望收益$E_1$可以通过以下方式计算：
    • $E_1=p_1\times (q_1\times 0+q_2\times 1+q_3\times (-1))+p_2\times (q_1\times (-1)+q_2\times 0+q_3\times 1)+p_3\times (q_1\times 1+q_2\times (-1)+q_3\times 0)$
    • 化简后：$E_1=p_1\times (q_2-q_3)+p_2\times (q_3-q_1)+p_3\times (q_1-q_2)$
• 特殊情况分析
  • 例如，如果玩家2以相同的概率$1/3$选择石头、剪刀和布（即$q_1=q_2=q_3=1/3$），那么玩家1的期望收益为：
    • $E_1=p_1\times (1/3-1/3)+p_2\times (1/3-1/3)+p_3\times (1/3-1/3)=0$
  • 这意味着无论玩家1采用何种混合策略，其期望收益都是0，因为玩家2的策略是均匀分布的，游戏在这种情况下是公平的。

3. 以“性别战”博弈为例
   • 游戏规则
     • 一对情侣决定晚上的活动，有两种选择：看足球比赛或者看芭蕾舞演出。男生更喜欢看足球比赛，女生更喜欢看芭蕾舞演出。但是他们都更愿意在一起而不是分开活动。
   • 构建收益矩阵
     • 设男生选择看足球比赛的收益为2（如果女生也一起看足球比赛），选择看芭蕾舞演出的收益为1（如果女生选择看芭蕾舞演出）。女生选择看芭蕾舞演出的收益为2（如果男生也一起看芭蕾舞演出），选择看足球比赛的收益为1（如果男生选择看足球比赛）。如果两人选择不同的活动，双方收益都为0。
     • 收益矩阵如下：
       “性别战”收益矩阵

男生\女生	足球比赛	芭蕾舞演出
足球比赛	2，1	0，0
芭蕾舞演出	0 ，0	1，2

这样的格式更加清晰、直观地展示了不同策略组合下的收益情况。

• 混合策略的设定
  • 假设男生以概率$p$选择看足球比赛，那么以概率$1-p$选择看芭蕾舞演出。女生以概率$q$选择看足球比赛，以概率$1-q$选择看芭蕾舞演出。
• 计算男生的期望收益
  • 男生的期望收益$E_m$为：
    • $E_m=p\times (q\times 2+(1-q)\times 0)+(1-p)\times (q\times 0+(1-q)\times 2)$
    • 化简后：$E_m=2pq+2(1-p)(1-q)$
    • 进一步展开：$E_m=2pq+2-2q-2p+2pq=4pq-2p-2q+2$
• 求解混合策略纳什均衡（特殊情况）
  • 在纳什均衡下，双方都不愿意改变自己的策略。令$\frac{\partial E_m}{\partial p}=0$，求男生期望收益关于$p$的偏导数：
    • $\frac{\partial E_m}{\partial p}=4q-2=0$，解得$q=1/2$。
  • 同理，计算女生的期望收益并求关于$q$的偏导数，令其为0，可以得到$p=1/2$。
  • 这说明在混合策略纳什均衡下，男生和女生都以$1/2$的概率选择看足球比赛和芭蕾舞演出。此时，男生的期望收益为$E_m=4\times (1/2)\times (1/2)-2\times (1/2)-2\times (1/2)+2=1$，女生的期望收益也为1，双方都达到了一种平衡状态，没有动力去单方面改变策略。