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【LetMeFly】1922.统计好数字的数目：乘法原理+快速幂

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/count-good-numbers/

我们称一个数字字符串是 好数字 当它满足（下标从 0 开始）偶数下标处的数字为偶数且奇数下标处的数字为质数（2，3，5 或 7）。

比方说，"2582" 是好数字，因为偶数下标处的数字（2 和 8）是偶数且奇数下标处的数字（5 和 2）为质数。但 "3245" 不是好数字，因为 3 在偶数下标处但不是偶数。

给你一个整数 n ，请你返回长度为 n 且为好数字的数字字符串总数。由于答案可能会很大，请你将它对 10⁹ + 7 取余后返回 。

一个 数字字符串 是每一位都由 0 到 9 组成的字符串，且可能包含前导 0 。

示例 1：

输入：n = 1
输出：5
解释：长度为 1 的好数字包括 "0"，"2"，"4"，"6"，"8" 。

示例 2：

输入：n = 4
输出：400

示例 3：

输入：n = 50
输出：564908303

提示：

1 <= n <= 10¹⁵

解题方法：乘法原理+快速幂

每个偶数下标有5种选择，每个奇数下标有4种选择，每个元素之间的选择互补干扰冲突。

由于共有 $a=\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor$ 个偶数位和 $b=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$ 个奇数位，所以一共有 $5^a4^b$ 种答案。

如何快速计算 $m^n$ ？使用快速幂可在 $\log n$ 的时间复杂度内求出。

快速幂原理方法请见：这里。

时间复杂度 $O(\log n)$
空间复杂度 $O (1)$

AC代码

C++

/** @Author: LetMeFly* @Date: 2025-04-13 17:00:20* @LastEditors: LetMeFly.xyz* @LastEditTime: 2025-04-13 17:06:07* @Description: AC,100.00%,51.97%*/
typedef long long ll;
const ll MOD = 1e9 + 7;class Solution {
private:ll pow(ll a, ll b) {ll ans = 1;while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;}a = a * a % MOD;b >>= 1;}return ans;}
public:int countGoodNumbers(long long n) {return pow(5, (n + 1) / 2) * pow(4, n / 2) % MOD;}
};

Python

Python用户可以无视手动实现快速幂。

'''
Author: LetMeFly
Date: 2025-04-13 17:06:16
LastEditors: LetMeFly.xyz
LastEditTime: 2025-04-13 17:06:17
'''
MOD = 1000000007class Solution:def countGoodNumbers(self, n: int) -> int:return pow(5, (n + 1) // 2, MOD) * pow(4, n // 2, MOD) % MOD

Java

/** @Author: LetMeFly* @Date: 2025-04-13 17:07:43* @LastEditors: LetMeFly.xyz* @LastEditTime: 2025-04-14 00:07:21* @Description: AC,100.00%,87.23%*/
class Solution {private final long mod = 1000000007;private long pow(long a, long b) {long ans = 1;while (b > 0) {if ((b & 1) == 1) {ans = ans * a % mod;}a = a * a % mod;b >>= 1;}return ans;}public int countGoodNumbers(long n) {return (int)(pow(5, (n + 1) / 2) * pow(4, n / 2) % mod);}
}

Golang

/** @Author: LetMeFly* @Date: 2025-04-13 17:54:42* @LastEditors: LetMeFly.xyz* @LastEditTime: 2025-04-14 00:05:17* @Description: continue on subway，太晃了还是先算了* @Description: AC,100.00%,63.16%*/
package mainvar MOD1922 = int64(1000000007)func pow1922(a int64, b int64) int64 {ans := int64(1)for ; b > 0; b >>= 1 {if b & 1 == 1 {ans = ans * a % MOD1922}a = a * a % MOD1922}return ans
}func countGoodNumbers(n int64) int {return int(pow1922(5, (n + 1) / 2) * pow1922(4, n / 2) % MOD1922)
}

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