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一、摘要

本文详细介绍了主成分分析法（PCA）在高维数据降维中的应用。首先，阐述了PCA的基本原理，即通过寻找前k个主成分对应的轴的方向，实现从高维数据向低维数据的映射。随后，讲解了如何通过PCA将样本数据从N维映射到k维，包括主成分的计算、矩阵乘法和降维过程的具体实现。此外，还涉及了PCA的编程实现，包括如何封装PCA为一个类，以及如何通过该类进行数据的降维和恢复。最后，通过实际编程实验展示了PCA降维的基本原理和应用效果，强调了PCA在数据降维中的重要作用。

二、PCA的降维思路

1. 主成分分析法用于将高维数据映射到低维数据，涉及求取数据集的前n个主成分。

2. 主成分代表高维空间中的坐标轴方向，通过这些方向可以将数据集从高维空间转换到低维空间。

3. 样本数据的表示与主成分矩阵

   • 样本数据X表示为m行n列的矩阵，其中m是样本数量，n是特征数量。
     $$高维数据矩阵X：X=\left(\begin{array}{cccc}{X}_1^{(1)}& X_2^{(1)}& \dots & X_n^{(1)}\\ X_1^{(2)}& X_2^{(2)}& \dots & X_n^{(2)}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ X_1^{(m)}& X_2^{(m)}& \dots & X_n^{(m)}\end{array}\right)$$
     表示 ( m ) 个样本，每个样本有 ( n ) 个特征，维度为 ( m x n )。
     维度为 (m x n)
   • 通过主成分分析法求出的前k个主成分表示为w矩阵，w是一个k行n列的矩阵，代表k个单位方向向量。
     $$映射矩阵W_k：W_k=\left(\begin{array}{cccc}{W}_1^{(1)}& W_2^{(1)}& \dots & W_n^{(1)}\\ W_1^{(2)}& W_2^{(2)}& \dots & W_n^{(2)}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ W_1^{(k)}& W_2^{(k)}& \dots & W_n^{(k)}\end{array}\right)$$
     维度为 (n x k)

4. 样本数据的降维映射：矩阵乘法实现降维

   • 公式：
     $$X\cdot W_k^T=X_k$$
   • 维度标注：
     • ( X ) 的维度为 ( m x n )
     • (Wk) 的维度为 ( n x k )
     • 运算结果 ( Xk ) 的维度为 ( m x k )

   1. 公式含义：
      表示高维数据矩阵 ( X ) 与映射矩阵 ( Wk ) 的转置（( W_k^T )）进行矩阵乘法运算，最终得到低维数据矩阵 ( Xk )。这一过程是高维数据向低维映射的核心计算步骤。换言之，矩阵乘法实现样本数据从N维到k维的映射，通过将x与w的转置相乘完成。x是一个m行n列的矩阵，w是一个k行n列的矩阵，转置后变为n行k列的矩阵。乘法结果得到一个m行k列的矩阵，即降维后的样本数据。

   2. 维度分析：

      • ( X ) 是 ( m x n ) 矩阵，代表 ( m ) 个样本，每个样本有 ( n ) 个特征（原始高维数据）。
      • ( Wk ) 是 ( n x k ) 矩阵（( k < n )），用于定义低维空间的映射规则。其转置 Wk维度为 ( k x n )。
      • 根据矩阵乘法规则（前一矩阵的列数与后一矩阵的行数需匹配），$$X\cdot W_k^T$$运算后得到 ( m x k ) 的 ( Xk )，实现了从 ( n ) 维到 ( k ) 维的降维，( Xk ) 即为降维后的低维数据，在保留原始数据主要特征的同时降低了维度。

三、PCA代码实现降维过程

3.1 PCA类的实现与封装

1. 在PyCharm中新建pythonProject工程并在该工程中加入了pca.py文件，封装了PCA类。

2. PCA类构造函数传入n_components参数，表示要多少个主成分。

3. 构造函数中初始化n_components和components变量，components用于存储主成分方向向量。

4. 具体代码：

   import numpy as npclass PCA:def __init__(self,n_components):"""初始化PCA"""assert n_components >= 1, "n_components must be valid."self.n_components = n_componentsself.components = Nonedef fit(self,X,eta=0.01,n_iters=1e4):"""获得数据集X的前n个主成分"""assert self.n_components <= X.shape[1],\"n_components must not be greater than the feature number of X."def demean(X):"""均值归零"""return X - np.mean(X,axis=0)def f(w,X):"""目标函数：求w向量，使得目标函数在该方向上的方差最大"""return np.sum(X.dot(w) ** 2)/len(X)def df(w,X):"""求梯度"""return X.T.dot(X.dot(w)) * 2. / len(X)def direction(w):"""单位方向向量函数"""return w / np.linalg.norm(w)def first_component(X,initial_w,eta=0.01,n_iters=1e4,epsilon=1e-8):"""求第一个主成分"""w = direction(initial_w)cur_iter = 0while cur_iter < n_iters:gradient = df(w,X)last_w = ww = w + eta * gradient   # 梯度上升法w = direction(w)if (abs(f(w,X) - f(last_w,X))) < epsilon:breakcur_iter += 1return w# 均值归零，将高维矩阵X进行均值归零处理X_pca = demean(X)# 定义一个空的低维矩阵Wk，也就是映射矩阵，self.components_ = np.empty(shape=(self.n_components,X.shape[1]))for i in range(self.n_components):initial_w = np.random.random(X_pca.shape[1])w = first_component(X_pca,initial_w,eta,n_iters)self.components_[i,:] = wX_pca = X_pca - X_pca.dot(w).reshape(-1,1) * wreturn selfdef transform(self,X):"""将给定的X，映射到各个主成分分量中"""assert X.shape[1] == self.components_.shape[1]# 通过矩阵相乘，实现降维：m x n * n x k == m x k 矩阵return  X.dot(self.components_.T)def inverse_transform(self,X):"""将给定的X，反向映射回元原来的特征空间"""assert X.shape[1] == self.components_.shape[0]# 通过矩阵相乘，实现维数还原：m x k * k x n == m x n 矩阵return X.dot(self.components_)def __repr__(self):return "PCA(n_components=%d)" % self.n_components
   

   

   • 设置fit和transform方法，fit方法用于计算主成分，transform方法用于降维处理。
   • fit方法传入样本数据x和梯度上升法的相关参数，计算前n_components个主成分。
   • transform方法传入样本数据x和已计算出的主成分矩阵，将数据降维到k维。
   • inverse_transform方法用于将低维数据恢复成高维数据。

3.2 PCA类的使用示例

1. 在notebook中使用封装的PCA类，加载虚拟数据集并进行降维处理。
2. 实例化PCA类并传入n_components参数，调用fit方法计算主成分。
3. 调用transform方法将数据降维到k维，调用inverse_transform方法将低维数据恢复成高维数据。
4. 通过绘制降维前后的数据点，展示PCA降维的效果。
5. 演示过程：
   • 导入工程

     # 导入在PyCharm中封装好的工程项目
     import sys
     project_path = 'D:/PycharmProjects/pythonProject/'
     if project_path not in sys.path:sys.path.append(project_path)
     

   • 具体实现

     from PCA import PCA
     import numpy as np
     import matplotlib.pyplot as pltX = np.empty((100, 2))
     X[:, 0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
     X[:, 1] = 0.75 * X[:, 0] + 3. + np.random.normal(0, 10., size=100)# 初始化PCA，传入主成分数量为2个
     pca = PCA(n_components=2)# 获取X数据集的前2个主成分
     pca.fit(X)# 查看由2个主成分所构成的矩阵
     pca.components_# 调用fit_transform函数进行降维操作
     X_reduction = pca.transform(X)# 查看X_reduction维度
     X_reduction.shape# 如果期望将数据降到更低维度，比如降到 1 维
     # 那么在初始化 PCA 类时，将 n_components 设置为 1 即可，即 pca = PCA(n_components=1) ，这样再调用 transform 方法后得到的结果维度就会是 (100, 1) 。
     pca = PCA(n_components=1)
     pca.fit(X)
     # 调用fit_transform函数进行降维操作
     X_reduction = pca.transform(X)# 查看X_reduction维度
     X_reduction.shape
     # PCA恢复
     X_restore = pca.inverse_transform(X_reduction)
     # 查看
     X_restore.shape
     # 绘制图像
     plt.scatter(X[:,0], X[:,1], color='b', alpha=0.5)
     plt.scatter(X_restore[:,0], X_restore[:,1], color='r', alpha=0.5)
     plt.show()
     

     执行过程：
     
     
     

四、PCA的恢复过程

1. 通过将降维后的数据与w矩阵相乘，可以恢复成原始的高维数据。
2. 恢复过程中会丢失一些信息，但可以从数学上实现低维到高维的映射。

• 矩阵定义：

  • 低维数据矩阵
    $$X_k=\left(\begin{array}{cccc}{X}_1^{(1)}& X_2^{(1)}& \dots & X_k^{(1)}\\ X_1^{(2)}& X_2^{(2)}& \dots & X_k^{(2)}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ X_1^{(m)}& X_2^{(m)}& \dots & X_k^{(m)}\end{array}\right)$$维度为 ( m x k )。
  • 映射矩阵 $$W_k=\left(\begin{array}{cccc}{W}_1^{(1)}& W_2^{(1)}& \dots & W_n^{(1)}\\ W_1^{(2)}& W_2^{(2)}& \dots & W_n^{(2)}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ W_1^{(k)}& X_2^{(k)}& \dots & X_n^{(k)}\end{array}\right)$$ 维度为 ( k x n )。

• 公式：$$X_k\cdot W_k=X_m$$ 维度标注为 m x k、k x n、m x n 。

• 数据映射逻辑：

  • $$X_k$$ 是低维数据矩阵，包含 ( m ) 个样本，每个样本有 ( k ) 个特征，代表高维数据降维后的结果。
  • $$W_k$$是映射矩阵，用于定义低维空间到高维空间的转换规则。通过矩阵乘法 ( X_k \cdot W_k )，理论上可将低维数据 ( X_k ) 恢复或映射回高维空间，得到 ( m \times n ) 的高维数据 ( X_m )。

• 矩阵运算意义：

  • 从维度看，( X_k )（( m x k )）与 Wk 满足矩阵乘法规则（前一矩阵的列数与后一矩阵的行数均为 ( k )），运算结果 ( Xm ) 的维度为 ( m x n )，即还原出包含 ( n ) 个特征的高维数据。这一过程体现了“低维数据通过映射矩阵重建高维数据”的逆向映射关系，常见于数据降维后的恢复或特征重构场景。