文章目录一. 基本内容与重要结论1. 基础知识2. 重要定理2.1.特征值与线性相关性2.2. 相似与对角化2.3. 对称矩阵与正交变换与理解二. 典型例题1. 特征值与特征向量题型一 数字型矩阵题型二抽象矩阵1. 特征值随矩阵的加、平方、逆的变换根据非齐次方程组的解得出特征等式的形式题型三相似矩阵的特征值特征向量将多个向量看成整体2. 相似、相似对角化相似与行列式、秩、特征值、对角之和、以及矩阵变换的关系题型一根据相似性质秩相等由A求B题型二与对角相似则一定有n个线性无关向量题型三利用相似性质判断是否相似对角与相似的性质对角化满秩特征值一致则相似相似定义式-B对角则A能对角、相似后的矩阵变换题型四 对角化与特征方程定义齐次方程组的解3. 矩阵中有未知数时特征向量的讨论利用相似必要条件求出未知数4. 求对角的可逆矩阵求对角矩阵以及P的标准做法重点练习重点练习凑相似形式5. 用相似(对角矩阵或相似矩阵)求A n A^nAn6. 反求矩阵A特征向量与齐次方程组的关系7. 实对称矩阵题型一利用实对称矩阵一定能够对角化的性质题型二实对称矩阵的正交化标准题型重点练习题型三利用正交来求特征向量从等式中得到信息一. 基本内容与重要结论1. 基础知识特征值与特征向量特征方程求特征方程的行列式00意味着有解得λ即特征值。由各个λ求各个特征值的基础解系。相似的定义与对角矩阵相似则可对角化2. 重要定理特征值的特征向量的组合相同特征值的特征向量的组合也属于此特征值的特征向量不同特征值的特征向量组合不是特征向量特征值与对角线元素的关系、特征值与行列式的关系2.1.特征值与线性相关性不同特征值之间的特征向量线性无关特征值的重数与属于它的特征向量的线性无关的个数。2.2. 相似与对角化特征值与对角化相似对角化的充要条件2.3. 对称矩阵与正交变换与理解与对角相似则有三个线性无关的特征向量。二. 典型例题1. 特征值与特征向量题型一 数字型矩阵求| λE- A | 0 得特征值求各个特征值的通解基础解系的自由变量1也可以设为0或其他数本题型主要注意不用化成最简式化成行阶梯矩阵就可以。对于基础解系自由变量取值比较随机保证容易计算即可。1.直接计算题型二抽象矩阵1. 特征值随矩阵的加、平方、逆的变换AkE的特征值λk特征向量是aA²的特征值λ²特征向量是aA − 1 A^{-1}A−1的特征值是1/λ特征向量是a根据非齐次方程组的解得出特征等式的形式找特征等式形式由解的性质得非齐次特解带入非齐次方程得特征等式形式齐次基础解系带入齐次等式得特质等式由特征定义得特征值和特征向量。题型三相似矩阵的特征值特征向量解题思路由已知式子出发根据特征等式求方式一看到A可逆就想到凑相似形式左右乘AA-1次相似则有相同的特征值。方式二特征多项式行列式式子相同则特征值相等。利用矩阵行列式相乘公式|AB||A||B||B||A||BA|将多个向量看成整体方式1线性无关想到可逆进而可以利用相似。相似有相同的特征值但没有相同的特征向量具体公式见5题。方式2利用定义将2a1a2看成整体特征向量。2. 相似、相似对角化相似与行列式、秩、特征值、对角之和、以及矩阵变换的关系相似必要条件行列式、秩、特征值、对角元素之和相等相似的传递性相似的kE与n次方相似题型一根据相似性质秩相等由A求B由相似得秩的关系题型二与对角相似则一定有n个线性无关向量与对角相似则有三个线性无关的特征向量。那么就判断特征向量。三个不同的特征值必有三个线性无关的特征向量根据基础解系的关系n-R(A)3-21,二重根只有一个解向量不能对角化与二相反实对称矩阵一定能相似对角化。题型三利用相似性质判断是否相似难点在于难找p使得相似定义相等所以要利用其他方式。相似的必要条件行列式、秩、特征值、对角线元素之和 相等。对角线元素之和不相等B不可相似对角化A肯定能故不相似。特征向量个数不同不用具体的特征向量特征值向量的求解还不熟练。对角与相似的性质对角化满秩特征值一致则相似A是实对称矩阵则一定可以对角化。判断B是否能够对角化即存在三个线性无关的特征向量.如果不存在则不能对角化则不相似如果存在再判断特征值是否一致。一致则说明有一样的对角矩阵则相似。相似定义式-B对角则A能对角、相似后的矩阵变换凑相似形式相似则判断B是否能对角化。凑成APPB的()形式得相似。B能否对角化决定A能否对角化简化。相似则 AE~BE 相似。求BE的秩。题型四 对角化与特征方程定义齐次方程组的解抽象则利用定义由题意可设A的列向量就是解向量设A的列向量由等式得出特征等式由秩知道齐次方程有非零解进而可知λ0特征解不为0向量重要结论因为0不等于5所以有三个线性无关的特征向量。3. 矩阵中有未知数时特征向量的讨论利用相似必要条件求出未知数必要条件秩、对角线之和、特征值 相等方法一对角线之和得一个条件。B找出一个特征值让A求特征行列式0再得一个条件。直接求特征多项式根据重根信息分析λ特点求出a进而得出基础解系的特性判断是否可以对角化。4. 求对角的可逆矩阵求对角矩阵以及P的标准做法求P的方式P这么构成的原因重点练习特征多项式求λ根据题意两个不同的特征值对角得到λ的取值与特征向量基础解系即能构成对角可逆矩阵。重点练习凑相似形式右乘, 变换成APPB形式则相似求B的特征值就是A的特征值利用“提示结论”先求B的P然后再求A的P。利用相似特性对角线之和、行列式相等、秩相等这里没用到利用对角相似化利用相同的对角矩阵凑P。5. 用相似(对角矩阵或相似矩阵)求A n A^nAn利用相似对角矩阵来求A n {A^n}An求特征值|λE-A|0将0带入一个未知数一个已知条件。得a。求A n A^nAn:根据提示求出P、对角的n次方即可求出A n A^nAn求特征值求特征向量得p求p − 1 p^{-1}p−1。{ P : E } − { E : P − 1 } \{P:E\}-\{E:P^{-1}\}{P:E}−{E:P−1}求结果:左乘行变换右乘列变换。利用相似矩阵间接求A 100 A^{100}A100求B间接求A^1006. 反求矩阵A利用非齐次行列式无穷多解的条件R()小于等于2利用上面的式子求Ar(A²-E)新的求法利用上面的式子进行抽象式子变换特征向量与齐次方程组的关系求A利用A a 1 λ 1 a 1 Aa_1λ_1a_1Aa1λ1a1矩阵相乘一行一列相乘可得λ。求AA P ∗ 对角矩阵 ∗ P − 1 AP*对角矩阵*P^{-1}AP∗对角矩阵∗P−1观察到3是A的特征值所以通解是λ3的通解。7. 实对称矩阵题型一利用实对称矩阵一定能够对角化的性质利用特征定义A²A得出λ0或1.因为是实对称矩阵所以可对角化与对角矩阵相似则秩相等对角矩阵由λ组成对角矩阵的秩2所以得λ110题型二实对称矩阵的正交化标准题型重点练习用特征行列式进行讨论求正交矩阵求特征向量判断是否正交求正交向量特征向量的正交问题对于相同特征值的不同特征向量一定不正交对于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交。题型三利用正交来求特征向量从等式中得到信息等式假设B可逆得出A6E的矛盾由题意得|B|0利用正交来求特征向量因为行列式0则一定有λ0特征值相乘行列式R(B)2有两个线性无关的向量知道6特征值有两个特征无关的向量实对称不同特征值的特征向量一定正交根据正交得齐次方程得a1求出λ0特征向量。3.1. 求A知道特征值与特征向量可求A3.2.
文章目录一. 基本内容与重要结论1. 基础知识2. 重要定理2.1.特征值与线性相关性2.2. 相似与对角化2.3. 对称矩阵与正交变换与理解二. 典型例题1. 特征值与特征向量题型一 数字型矩阵题型二抽象矩阵1. 特征值随矩阵的加、平方、逆的变换根据非齐次方程组的解得出特征等式的形式题型三相似矩阵的特征值特征向量将多个向量看成整体2. 相似、相似对角化相似与行列式、秩、特征值、对角之和、以及矩阵变换的关系题型一根据相似性质秩相等由A求B题型二与对角相似则一定有n个线性无关向量题型三利用相似性质判断是否相似对角与相似的性质对角化满秩特征值一致则相似相似定义式-B对角则A能对角、相似后的矩阵变换题型四 对角化与特征方程定义齐次方程组的解3. 矩阵中有未知数时特征向量的讨论利用相似必要条件求出未知数4. 求对角的可逆矩阵求对角矩阵以及P的标准做法重点练习重点练习凑相似形式5. 用相似(对角矩阵或相似矩阵)求A n A^nAn6. 反求矩阵A特征向量与齐次方程组的关系7. 实对称矩阵题型一利用实对称矩阵一定能够对角化的性质题型二实对称矩阵的正交化标准题型重点练习题型三利用正交来求特征向量从等式中得到信息一. 基本内容与重要结论1. 基础知识特征值与特征向量特征方程求特征方程的行列式00意味着有解得λ即特征值。由各个λ求各个特征值的基础解系。相似的定义与对角矩阵相似则可对角化2. 重要定理特征值的特征向量的组合相同特征值的特征向量的组合也属于此特征值的特征向量不同特征值的特征向量组合不是特征向量特征值与对角线元素的关系、特征值与行列式的关系2.1.特征值与线性相关性不同特征值之间的特征向量线性无关特征值的重数与属于它的特征向量的线性无关的个数。2.2. 相似与对角化特征值与对角化相似对角化的充要条件2.3. 对称矩阵与正交变换与理解与对角相似则有三个线性无关的特征向量。二. 典型例题1. 特征值与特征向量题型一 数字型矩阵求| λE- A | 0 得特征值求各个特征值的通解基础解系的自由变量1也可以设为0或其他数本题型主要注意不用化成最简式化成行阶梯矩阵就可以。对于基础解系自由变量取值比较随机保证容易计算即可。1.直接计算题型二抽象矩阵1. 特征值随矩阵的加、平方、逆的变换AkE的特征值λk特征向量是aA²的特征值λ²特征向量是aA − 1 A^{-1}A−1的特征值是1/λ特征向量是a根据非齐次方程组的解得出特征等式的形式找特征等式形式由解的性质得非齐次特解带入非齐次方程得特征等式形式齐次基础解系带入齐次等式得特质等式由特征定义得特征值和特征向量。题型三相似矩阵的特征值特征向量解题思路由已知式子出发根据特征等式求方式一看到A可逆就想到凑相似形式左右乘AA-1次相似则有相同的特征值。方式二特征多项式行列式式子相同则特征值相等。利用矩阵行列式相乘公式|AB||A||B||B||A||BA|将多个向量看成整体方式1线性无关想到可逆进而可以利用相似。相似有相同的特征值但没有相同的特征向量具体公式见5题。方式2利用定义将2a1a2看成整体特征向量。2. 相似、相似对角化相似与行列式、秩、特征值、对角之和、以及矩阵变换的关系相似必要条件行列式、秩、特征值、对角元素之和相等相似的传递性相似的kE与n次方相似题型一根据相似性质秩相等由A求B由相似得秩的关系题型二与对角相似则一定有n个线性无关向量与对角相似则有三个线性无关的特征向量。那么就判断特征向量。三个不同的特征值必有三个线性无关的特征向量根据基础解系的关系n-R(A)3-21,二重根只有一个解向量不能对角化与二相反实对称矩阵一定能相似对角化。题型三利用相似性质判断是否相似难点在于难找p使得相似定义相等所以要利用其他方式。相似的必要条件行列式、秩、特征值、对角线元素之和 相等。对角线元素之和不相等B不可相似对角化A肯定能故不相似。特征向量个数不同不用具体的特征向量特征值向量的求解还不熟练。对角与相似的性质对角化满秩特征值一致则相似A是实对称矩阵则一定可以对角化。判断B是否能够对角化即存在三个线性无关的特征向量.如果不存在则不能对角化则不相似如果存在再判断特征值是否一致。一致则说明有一样的对角矩阵则相似。相似定义式-B对角则A能对角、相似后的矩阵变换凑相似形式相似则判断B是否能对角化。凑成APPB的()形式得相似。B能否对角化决定A能否对角化简化。相似则 AE~BE 相似。求BE的秩。题型四 对角化与特征方程定义齐次方程组的解抽象则利用定义由题意可设A的列向量就是解向量设A的列向量由等式得出特征等式由秩知道齐次方程有非零解进而可知λ0特征解不为0向量重要结论因为0不等于5所以有三个线性无关的特征向量。3. 矩阵中有未知数时特征向量的讨论利用相似必要条件求出未知数必要条件秩、对角线之和、特征值 相等方法一对角线之和得一个条件。B找出一个特征值让A求特征行列式0再得一个条件。直接求特征多项式根据重根信息分析λ特点求出a进而得出基础解系的特性判断是否可以对角化。4. 求对角的可逆矩阵求对角矩阵以及P的标准做法求P的方式P这么构成的原因重点练习特征多项式求λ根据题意两个不同的特征值对角得到λ的取值与特征向量基础解系即能构成对角可逆矩阵。重点练习凑相似形式右乘, 变换成APPB形式则相似求B的特征值就是A的特征值利用“提示结论”先求B的P然后再求A的P。利用相似特性对角线之和、行列式相等、秩相等这里没用到利用对角相似化利用相同的对角矩阵凑P。5. 用相似(对角矩阵或相似矩阵)求A n A^nAn利用相似对角矩阵来求A n {A^n}An求特征值|λE-A|0将0带入一个未知数一个已知条件。得a。求A n A^nAn:根据提示求出P、对角的n次方即可求出A n A^nAn求特征值求特征向量得p求p − 1 p^{-1}p−1。{ P : E } − { E : P − 1 } \{P:E\}-\{E:P^{-1}\}{P:E}−{E:P−1}求结果:左乘行变换右乘列变换。利用相似矩阵间接求A 100 A^{100}A100求B间接求A^1006. 反求矩阵A利用非齐次行列式无穷多解的条件R()小于等于2利用上面的式子求Ar(A²-E)新的求法利用上面的式子进行抽象式子变换特征向量与齐次方程组的关系求A利用A a 1 λ 1 a 1 Aa_1λ_1a_1Aa1λ1a1矩阵相乘一行一列相乘可得λ。求AA P ∗ 对角矩阵 ∗ P − 1 AP*对角矩阵*P^{-1}AP∗对角矩阵∗P−1观察到3是A的特征值所以通解是λ3的通解。7. 实对称矩阵题型一利用实对称矩阵一定能够对角化的性质利用特征定义A²A得出λ0或1.因为是实对称矩阵所以可对角化与对角矩阵相似则秩相等对角矩阵由λ组成对角矩阵的秩2所以得λ110题型二实对称矩阵的正交化标准题型重点练习用特征行列式进行讨论求正交矩阵求特征向量判断是否正交求正交向量特征向量的正交问题对于相同特征值的不同特征向量一定不正交对于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交。题型三利用正交来求特征向量从等式中得到信息等式假设B可逆得出A6E的矛盾由题意得|B|0利用正交来求特征向量因为行列式0则一定有λ0特征值相乘行列式R(B)2有两个线性无关的向量知道6特征值有两个特征无关的向量实对称不同特征值的特征向量一定正交根据正交得齐次方程得a1求出λ0特征向量。3.1. 求A知道特征值与特征向量可求A3.2.
