- 递归函数参数
与39.组合总和 (opens new window)套路相同，此题还需要加一个bool型数组used，用来记录同一树枝上的元素是否使用过。
这个集合去重的重任就是used来完成的。
一、回溯法
回溯函数也就是递归函数，指的都是一个函数。
虽然回溯法很难，很不好理解，但是回溯法并不是什么高效的算法。
因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。
回溯法，一般可以解决如下几种问题：
- 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
- 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
- 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
- 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
- 棋盘问题：N皇后，解数独等等
- 组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。
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例如：{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。
记住组合无序，排列有序，就可以了。
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如何理解回溯法
回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构，是的，我指的是所有回溯法的问题都可以抽象为树形结构！
因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度就构成了树的深度。
递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。
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代码随想录 (programmercarl.com)
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回溯算法模板框架如下：
void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果} }
二、组合问题
77. 组合 - 力扣（LeetCode）
给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]
思路：
把组合问题抽象为如下树形结构：
可以看出这棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不再重复取。
第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。
每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。
图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。
那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？
图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。
相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。
回溯法三部曲
- 递归函数的返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。
代码如下：
result = [] # 存放结果集
其实不定义这两个全局变量也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。
函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k个数，那么n和k是两个int型的参数。
然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
为什么要有这个startIndex呢？
建议在77.组合视频讲解 (opens new window)中，07:36的时候开始听，startIndex 就是防止出现重复的组合。
从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。
所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。
那么整体代码如下：
result = [] # 存放结果集self.backtracking(n, k, 1, [], result)return resultdef backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):- 回溯函数终止条件
什么时候到达所谓的叶子节点了呢？
path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
如图红色部分：
此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。
所以终止条件代码如下：
if len(path) == k:result.append(path[:])return- 单层搜索的过程
回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。
如此我们才遍历完图中的这棵树。
for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。
代码如下：
for i in range(startIndex, n + 1): # 需要优化的地方path.append(i) # 处理节点self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)path.pop() # 回溯，撤销处理的节点可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。
backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。
完整代码如下：
class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:result = [] # 存放结果集self.backtracking(n, k, 1, [], result)return resultdef backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):if len(path) == k:result.append(path[:])returnfor i in range(startIndex, n + 1): # 需要优化的地方path.append(i) # 处理节点self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)path.pop() # 回溯，撤销处理的节点
为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。
举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。
从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。
- 时间复杂度: O(n * 2^n)
- 空间复杂度: O(n)
- 剪枝优化：
优化过程如下：
-
已经选择的元素个数：path.size();
-
所需需要的元素个数为: k - path.size();
-
列表中剩余元素（n-i） >= 所需需要的元素个数（k - path.size()）
-
在集合n中至多要从该起始位置 : i <= n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
-
for i in range(startIndex, n - (k - len(path)) + 2): # 优化的地方
三、组合总和Ⅲ
216. 组合总和 III - 力扣（LeetCode）
找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。
说明：
- 所有数字都是正整数。
- 解集不能包含重复的组合。
示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]
示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]
思路：
本题就是在[1,2,3,4,5,6,7,8,9]这个集合中找到和为n的k个数的组合。
相对于77. 组合 (opens new window)，无非就是多了一个限制，本题是要找到和为n的k个数的组合，而整个集合已经是固定的了[1,...,9]。
本题k相当于树的深度，9（因为整个集合就是9个数）就是树的宽度。
例如 k = 2，n = 4的话，就是在集合[1,2,3,4,5,6,7,8,9]中求 k（个数） = 2, n（和） = 4的组合。
选取过程如图：
图中，可以看出，只有最后取到集合（1，3）和为4 符合条件。
回溯三部曲：
- 确定递归函数参数
和77. 组合 (opens new window)一样，依然需要一维数组path来存放符合条件的结果，二维数组result来存放结果集。
这里我依然定义path 和 result为全局变量。
至于为什么取名为path？从上面树形结构中，可以看出，结果其实就是一条根节点到叶子节点的路径。
result = [] // 存放结果集
path = [] // 符合条件的结果
接下来还需要如下参数：
- targetSum（int）目标和，也就是题目中的n。
- k（int）就是题目中要求k个数的集合。
- sum（int）为已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和。
- startIndex（int）为下一层for循环搜索的起始位置。
所以代码如下：
result = []
path = []
void backtracking(targetSum, k, sum, startIndex)
其实这里sum这个参数也可以省略，每次targetSum减去选取的元素数值，然后判断如果targetSum为0了，说明收集到符合条件的结果了，我这里为了直观便于理解，还是加一个sum参数。
还要强调一下，回溯法中递归函数参数很难一次性确定下来，一般先写逻辑，需要啥参数了，填什么参数。
- 确定终止条件
什么时候终止呢？
在上面已经说了，k其实就已经限制树的深度，因为就取k个元素，树再往下深了没有意义。
所以如果path.size() 和 k相等了，就终止。
如果此时path里收集到的元素和（sum） 和targetSum（就是题目描述的n）相同了，就用result收集当前的结果。
所以 终止代码如下：
if len(path) == k:if currentSum == targetSum:result.append(path[:])return- 单层搜索过程
本题和77. 组合 (opens new window)区别之一就是集合固定的就是9个数[1,...,9]，所以for循环固定i<=9
如图：
处理过程就是 path收集每次选取的元素，相当于树型结构里的边，sum来统计path里元素的总和。
代码如下：
for i in range(startIndex, 9 - (k - len(path)) + 2): # 剪枝currentSum += i # 处理path.append(i) # 处理self.backtracking(targetSum, k, currentSum, i + 1, path, result) # 注意i+1调整startIndexcurrentSum -= i # 回溯path.pop() # 回溯别忘了处理过程 和 回溯过程是一一对应的，处理有加，回溯就要有减！
class Solution:def combinationSum3(self, k: int, n: int) -> List[List[int]]:result = [] # 存放结果集self.backtracking(n, k, 0, 1, [], result)return resultdef backtracking(self, targetSum, k, currentSum, startIndex, path, result):if currentSum > targetSum: # 剪枝操作return # 如果path的长度等于k但currentSum不等于targetSum，则直接返回if len(path) == k:if currentSum == targetSum:result.append(path[:])returnfor i in range(startIndex, 9 - (k - len(path)) + 2): # 剪枝currentSum += i # 处理path.append(i) # 处理self.backtracking(targetSum, k, currentSum, i + 1, path, result) # 注意i+1调整startIndexcurrentSum -= i # 回溯path.pop() # 回溯
四、17.电话号码的字母组合
. - 力扣（LeetCode）
给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。
给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。
示例:
- 输入："23"
- 输出：["ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"].
说明：尽管上面的答案是按字典序排列的，但是你可以任意选择答案输出的顺序。
思路：
数字和字母如何映射
可以使用map或者定义一个二维数组，例如：string letterMap[10]，来做映射，我这里定义一个二维数组，代码如下：
def __init__(self):self.letterMap = ["", # 0"", # 1"abc", # 2"def", # 3"ghi", # 4"jkl", # 5"mno", # 6"pqrs", # 7"tuv", # 8"wxyz" # 9]输入："23"，抽象为树形结构，如图所示：
图中可以看出遍历的深度，就是输入"23"的长度，而叶子节点就是我们要收集的结果，输出["ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"]。
回溯三部曲：
- 确定回溯函数参数
首先需要一个字符串s来收集叶子节点的结果，然后用一个字符串数组result保存起来，这两个变量我依然定义为全局。
再来看参数，参数指定是有题目中给的string digits，然后还要有一个参数就是int型的index。
注意这个index可不是 77.组合 (opens new window)和216.组合总和III (opens new window)中的startIndex了。
这个index是记录遍历第几个数字了，就是用来遍历digits的（题目中给出数字字符串），同时index也表示树的深度。
代码如下：
self.result = []self.s = ""def backtracking(self, digits, index):- 确定终止条件
例如输入用例"23"，两个数字，那么根节点往下递归两层就可以了，叶子节点就是要收集的结果集。
那么终止条件就是如果index 等于 输入的数字个数（digits.size）了（本来index就是用来遍历digits的）。
然后收集结果，结束本层递归。
代码如下：
if index == len(digits):self.result.append(self.s)return- 确定单层遍历逻辑
首先要取index指向的数字，并找到对应的字符集（手机键盘的字符集）。
然后for循环来处理这个字符集，代码如下：
digit = int(digits[index]) # 将索引处的数字转换为整数letters = self.letterMap[digit] # 获取对应的字符集for i in range(len(letters)):self.s += letters[i] # 处理字符self.backtracking(digits, index + 1) # 递归调用，注意索引加1，处理下一个数字self.s = self.s[:-1] # 回溯，删除最后添加的字符注意这里for循环，可不像是在回溯算法：求组合问题！ (opens new window)和回溯算法：求组合总和！ (opens new window)中从startIndex开始遍历的。
因为本题每一个数字代表的是不同集合，也就是求不同集合之间的组合，而77. 组合 (opens new window)和216.组合总和III (opens new window)都是求同一个集合中的组合！
注意：输入1 * #按键等等异常情况
代码中最好考虑这些异常情况，但题目的测试数据中应该没有异常情况的数据，所以我就没有加了。
但是要知道会有这些异常，如果是现场面试中，一定要考虑到！
class Solution:def __init__(self):self.letterMap = ["", # 0"", # 1"abc", # 2"def", # 3"ghi", # 4"jkl", # 5"mno", # 6"pqrs", # 7"tuv", # 8"wxyz" # 9]self.result = []self.s = ""def backtracking(self, digits, index):if index == len(digits):self.result.append(self.s)returndigit = int(digits[index]) # 将索引处的数字转换为整数letters = self.letterMap[digit] # 获取对应的字符集for i in range(len(letters)):self.s += letters[i] # 处理字符self.backtracking(digits, index + 1) # 递归调用，注意索引加1，处理下一个数字self.s = self.s[:-1] # 回溯，删除最后添加的字符def letterCombinations(self, digits):if len(digits) == 0:return self.resultself.backtracking(digits, 0)return self.result
- 时间复杂度: O(3^m * 4^n)，其中 m 是对应三个字母的数字个数，n 是对应四个字母的数字个数
- 空间复杂度: O(3^m * 4^n)
五、组合总和
. - 力扣（LeetCode）
给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的数字可以无限制重复被选取。
说明：
- 所有数字（包括 target）都是正整数。
- 解集不能包含重复的组合。
示例 1：
- 输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,
- 所求解集为： [ [7], [2,2,3] ]
示例 2：
- 输入：candidates = [2,3,5], target = 8,
- 所求解集为： [ [2,2,2,2], [2,3,3], [3,5] ]
思路：
本题搜索的过程抽象成树形结构如下：
注意图中叶子节点的返回条件，因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回！
回溯三部曲：
- 递归函数参数
如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex
如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex - 递归终止条件
从叶子节点可以清晰看到，终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target。
sum等于target的时候，需要收集结果，
- 单层搜索的逻辑
单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合
class Solution:def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, path, result):if total > target:returnif total == target:result.append(path[:])returnfor i in range(startIndex, len(candidates)):total += candidates[i]path.append(candidates[i])self.backtracking(candidates, target, total, i, path, result) # 不用i+1了，表示可以重复读取当前的数total -= candidates[i]path.pop()def combinationSum(self, candidates, target):result = []self.backtracking(candidates, target, 0, 0, [], result)return result
六、40.组合总和II
. - 力扣（LeetCode）
给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
说明： 所有数字（包括目标数）都是正整数。解集不能包含重复的组合。
- 示例 1:
- 输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
- 所求解集为:
[[1, 7],[1, 2, 5],[2, 6],[1, 1, 6]
]
- 示例 2:
- 输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
- 所求解集为:
[[1,2,2],[5]
]思路：
- 递归函数参数
与39.组合总和 (opens new window)套路相同，此题还需要加一个bool型数组used，用来记录同一树枝上的元素是否使用过。
这个集合去重的重任就是used来完成的。
- 递归终止条件
与39.组合总和 (opens new window)相同，终止条件为 sum > target 和 sum == target。
- 单层搜索的逻辑
这里与39.组合总和 (opens new window)最大的不同就是要去重了。
前面我们提到：要去重的是“同一树层上的使用过”，如何判断同一树层上元素（相同的元素）是否使用过了呢。
如果candidates[i] == candidates[i - 1] 并且 used[i - 1] == false，就说明：前一个树枝，使用了candidates[i - 1]，也就是说同一树层使用过candidates[i - 1]。
此时for循环里就应该做continue的操作。
这块比较抽象，如图：
图中将used的变化用橘黄色标注上，可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下：
- used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
- used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
为什么 used[i - 1] == false 就是同一树层呢，因为同一树层，used[i - 1] == false 才能表示，当前取的 candidates[i] 是从 candidates[i - 1] 回溯而来的。
而 used[i - 1] == true，说明是进入下一层递归，去下一个数，所以是树枝上，如图所示：
class Solution:def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, used, path, result):if total == target:result.append(path[:])returnfor i in range(startIndex, len(candidates)):# 对于相同的数字，只选择第一个未被使用的数字，跳过其他相同数字if i > startIndex and candidates[i] == candidates[i - 1] and not used[i - 1]:continueif total + candidates[i] > target:breaktotal += candidates[i]path.append(candidates[i])used[i] = Trueself.backtracking(candidates, target, total, i + 1, used, path, result)used[i] = Falsetotal -= candidates[i]path.pop()def combinationSum2(self, candidates, target):used = [False] * len(candidates)result = []candidates.sort()self.backtracking(candidates, target, 0, 0, used, [], result)return result