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定义

对于一阶常微分方程组：

$$\frac{d{x}_i}{dt}=X_i(x_1,x_2,\dots ,x_n),i=1,2,\dots ,n,$$

若存在非平凡函数 ( F(x_1, x_2, \dots, x_n) ) 满足：

$$\frac{dF}{dt}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial F}{\partial x_i}{X}_i=0,$$

则称 ( F ) 为该方程组的一个首次积分。

其特征方程为：

$$\frac{d{x}_1}{X_1}=\frac{d{x}_2}{X_2}=\cdots =\frac{d{x}_n}{X_n}$$

常微分方程组的首次积分

对于常微分方程组 (1):

要求得 ( n ) 个独立的首次积分，是将其写成对称形：

$$\frac{d{x}_1}{X_1}=\frac{d{x}_2}{X_2}=\cdots =\frac{d{x}_n}{X_n}$$

然后，选取 ( n+1 ) 个不同时为 ( 0 ) 的函数 ( \mu_i ) 使得：

$$\sum _{i=0}^n{\mu }_i{X}_i=0$$

且

$$\sum _{i=0}^n{\mu }_{i}d{x}_i=d\phi$$

那么 ( \varphi ) 就是方程组 (1) 的首次积分。

例题

题目内容

求通解：

$$\frac{dx}{mz-ny}=\frac{dy}{nx-lz}=\frac{dz}{ly-mx}$$

Solution

• 由：

$$\sum _{i=1}^n{\mu }_i{X}_i=0$$

可知可以选：( \boldsymbol{\mu}=(l,m,n) ) 或 ( \boldsymbol{\mu}=(x,y,z) )

• 分别带入由等比定理：

  1. $$lx+my+nz=C_1$$
  2. $$x^2+y^2+z^2=C_2$$