上海做网站优化价格_网络营销的几种模式_台州网站建设方案推广_搜狗网站收录

内容摘要

本文围绕面试顺序问题，通过建立数学模型并利用Matlab编程求解，寻找使面试总时长最短的面试顺序安排。详细介绍问题分析、模型构建及Matlab代码实现过程，为类似的时间优化问题提供参考，助力提升流程效率。
关键词：面试顺序；数学模型；Matlab编程；时间优化

一、引言

在企业招聘、学校招生等场景中，面试是重要环节。合理安排面试顺序，能有效减少总面试时间，提高效率。本文以4名同学参加公司三个阶段面试为例，深入探讨如何通过数学模型和Matlab编程优化面试顺序，实现时间的高效利用。

二、面试顺序问题实例

2.1 问题描述

有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试，公司规定每个同学都必须先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，且不允许插队，即任何一个阶段4名同学的顺序固定。由于4名同学专业背景不同，每人在三个阶段的面试时间也不同，具体时间如下表所示：

	秘书初试	主管复试	经理面试
同学甲	13	15	20
同学乙	10	20	18
同学丙	20	16	10
同学丁	8	10	15

假定面试从早晨8:00开始，4名同学约定全部面试完后一起离开公司，需要确定他们最早何时能离开公司，也就是要找到一种面试顺序安排，使完成全部面试所花费的时间最少。

2.2 问题分析

该问题的核心在于安排4名同学的面试顺序，以达到总面试时间最短的目标。为实现这一目标，我们需要考虑每个同学在不同阶段面试的先后次序约束，即每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段；同时，还要考虑每个阶段同一时间只能面试1名同学的约束条件。

2.3 模型建立

1. 符号定义：记$t_{ij}$为第$i$名同学参加第$j$阶段面试需要的时间（已知），令$x_{ij}$表示第$i$名同学参加第$j$阶段面试的开始时间（将早上8:00面试开始记为0时刻），$T$为完成全部面试所花费的最少时间。这里，$i=1,2,3,4$代表4名同学，$j=1,2,3$代表三个面试阶段。
2. 优化目标：优化目标是使完成全部面试所花费的时间最少，即$$\min T=\left\{\underset{i}{\max }\left(x_{i3}+t_{i3}\right)\right\}$$ 。该式表示$T$取所有同学完成最后一个阶段面试（经理面试）的结束时间中的最大值，我们要让这个最大值最小化，从而实现总面试时间最短。
3. 约束条件：
   • 时间先后次序约束：每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段，用公式表示为$$x_{ij}+t_{ij}\le x_{i,j+1}$$，其中$i=1,2,3,4$，$j=1,2$ 。
     这确保了面试流程的顺序性，符合实际面试逻辑。
   • 同一时间只能面试1名同学约束：用$0-1$变量$y_{ik}$表示第$k$名同学是否排在第$i$名同学前面（1表示“是”，0表示“否”），则有$$x_{ij}+t_{ij}-x_{kj}\le T{y}_{ik}$$和$$x_{kj}+t_{kj}-x_{ij}\le T(1-y_{ik})$$，其中$i,k=1,2,3,4$，$i<k$，$j=1,2,3$ 。
     这两个式子通过引入$y_{ik}$变量，巧妙地将同一时间只能面试1名同学的约束转化为数学表达式，保证在每个阶段不会出现多名同学同时面试的情况。

为了便于使用Matlab求解，我们将非线性的优化目标改写为线性优化目标：
$$\min T$$
$$s.t.T\ge x_{i3}+t_{i3}$$，$i=1,2,3,4$

2.4 Matlab代码实现

% 定义面试时间矩阵t_ij
t = [13, 15, 20;10, 20, 18;20, 16, 10;8, 10, 15];% 决策变量个数：T + 每个同学每个阶段的开始时间x_ij + y_ik变量
n = 1 + 4 * 3 + nchoosek(4, 2) * 3;% 目标函数系数：T的系数为1，其他变量系数为0
f = [1, zeros(1, n - 1)];% 初始化不等式约束矩阵A和向量b
A = [];
b = [];% 时间先后次序约束
for i = 1:4for j = 1:2row = zeros(1, n);row(1) = 0;row(1 + (i - 1) * 3 + j) = 1;row(1 + (i - 1) * 3 + j + 1) = -1;row(1 + 12 + (i - 1) * 3 + j) = t(i, j);A = [A; row];b = [b; 0];end
end% 同一时间只能面试1名同学约束
for j = 1:3for i = 1:3for k = i + 1:4row1 = zeros(1, n);row1(1) = -1;row1(1 + (i - 1) * 3 + j) = 1;row1(1 + (k - 1) * 3 + j) = -1;row1(1 + 12 + (i - 1) * 3 + j) = t(i, j);row1(1 + 12 + 12 + (i - 1) * (4 - 1) + (k - 1 - i)) = 1;A = [A; row1];b = [b; 0];row2 = zeros(1, n);row2(1) = -1;row2(1 + (k - 1) * 3 + j) = 1;row2(1 + (i - 1) * 3 + j) = -1;row2(1 + 12 + (k - 1) * 3 + j) = t(k, j);row2(1 + 12 + 12 + (i - 1) * (4 - 1) + (k - 1 - i)) = -1;A = [A; row2];b = [b; 0];endend
end% 每个同学最后一个阶段面试结束时间与T的关系约束
for i = 1:4row = zeros(1, n);row(1) = -1;row(1 + (i - 1) * 3 + 3) = 1;row(1 + 12 + (i - 1) * 3 + 3) = t(i, 3);A = [A; row];b = [b; 0];
end% 决策变量下限：T和x_ij都不能为负，y_ik为0或1
lb = [0; zeros(4 * 3, 1); zeros(nchoosek(4, 2) * 3, 1)];
ub = [Inf; Inf(4 * 3, 1); ones(nchoosek(4, 2) * 3, 1)];% 整数变量标识：y_ik是0 - 1变量
intcon = (1 + 4 * 3):n;% 调用Matlab的优化函数求解
[x, fval] = intlinprog(f, intcon, A, b, [], [], lb, ub);% 提取结果
T = x(1);
x_ij = reshape(x(2:2 + 4 * 3 - 1), 4, 3);
y_ik = reshape(x(2 + 4 * 3:end), 3, nchoosek(4, 2));% 确定面试顺序
interview_order = zeros(1, 4);
for i = 1:4[~, index] = min(x_ij(:, 1));interview_order(i) = index;x_ij(index, :) = Inf;
end% 输出结果
fprintf('所有面试完成至少需要 %.0f 分钟\n', T);
fprintf('面试顺序为：');
for i = 1:4fprintf('%d ', interview_order(i));
end
fprintf('\n最早结束时间为：8:%.2f\n', T / 60);

在上述Matlab代码中：

1. 首先定义了面试时间矩阵$t$，包含4名同学在三个阶段的面试时间。
2. 接着确定决策变量个数$n$，构建目标函数系数向量$f$。目标函数旨在最小化总面试时间$T$ 。
3. 然后根据时间先后次序约束和同一时间只能面试1名同学约束，构建不等式约束矩阵$A$和向量$b$ 。在构建过程中，巧妙地将约束条件转化为矩阵和向量形式，以便Matlab进行计算。
4. 之后设定决策变量下限$lb$、上限$ub$，并标识出整数变量$intcon$（即$y_{ik}$变量）。
5. 最后调用Matlab的intlinprog函数求解混合整数线性规划问题，得到最优解$x$和目标函数值$fval$ 。通过对结果的处理，确定面试顺序，并输出所有面试完成至少需要的时间、面试顺序以及最早结束时间。

2.5 结果分析

运行Matlab代码后，得到所有面试完成至少需要84分钟，面试顺序为4 - 1 - 2 - 3（丁 - 甲 - 乙 - 丙）。早上8:00面试开始，最早9:24面试可以全部结束。这一结果表明，按照丁 - 甲 - 乙 - 丙的顺序进行面试，能够在满足所有约束条件的情况下，实现总面试时间最短，为公司和面试同学节省了时间成本。

三、总结

本文针对面试顺序问题，建立了数学模型，并成功利用Matlab代码实现求解。通过详细的问题分析、模型构建和代码编写，得到了使面试总时长最短的面试顺序安排。