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计算机组成原理第二章 数据的表示和运算——数制与编码

一、基本概念与核心知识点

1.1 数制系统基础

1.1.1 进位计数制

• 定义：以固定基数（如2、8、10、16）表示数值的系统
• 核心要素：
  • 基数（R）：允许的数码个数（如二进制R=2）
  • 位权：第i位的权值为R^i
• 常见进制对照表：

  十进制	二进制	八进制	十六进制
  0	0000	0	0
  1	0001	1	1
  5	0101	5	5
  9	1001	11	9
  10	1010	12	A

1.1.2 数制转换方法

• 整数转换：
  • 除基取余法（十进制→其他进制）

    例：将十进制数25转换为二进制
    25 ÷ 2 = 12 余 1 → 最低位
    12 ÷ 2 = 6  余 0
    6  ÷ 2 = 3  余 0
    3  ÷ 2 = 1  余 1
    1  ÷ 2 = 0  余 1 → 最高位
    结果：11001B
    

  • 乘基取整法（十进制小数→其他进制）
• 小数转换：
  • 定点数转换：通过权值展开式计算
  • 浮点数转换：分离符号、阶码、尾数分别转换

1.1.3 常见进制特点

进制	应用场景	优势	局限性
二进制	计算机硬件、逻辑电路	易于物理实现（高低电平）	数值位数多，书写繁琐
八进制	早期计算机系统、权限表示	三位二进制对应一位八进制	现代计算机已不常用
十六进	内存地址、机器码表示	四位二进制对应一位十六进制	需要记忆16个符号

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1.2 编码系统详解

1.2.1 BCD码（二-十进制编码）

• 定义：用4位二进制数表示1位十进制数
• 主要类型：
  1. 8421码（有权码）：
     • 权值：8 4 2 1
     • 示例：5 → 0101
  2. 余3码（无权码）：
     • 8421码 + 0011
     • 特点：无单个0，适合BCD加减运算
  3. 2421码（有权码）：
     • 权值：2 4 2 1
     • 特点：具有自补性（如5的2421码是1011）

1.2.2 字符编码

• ASCII码：
  • 7位编码，共128个字符
  • 格式：0010 0000（空格）→ 1111 1111（DEL）
• Unicode编码：
  • 统一编码方案，支持多语言
  • UTF-8编码规则：

    字符范围	UTF-8编码格式
    1字节（ASCII）	0xxxxxxx
    2字节	110xxxxx 10xxxxxx
    3字节	1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx

1.2.3 校验码

• 奇偶校验码：
  • 增加1位校验位，使总1的个数为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）
  • 检测能力：仅能检测奇数个位错误
• 海明码：
  • 校验位分布：第2^k位（k=0,1,2,…）
  • 校验方程组：

    S1 = P1 ⊕ D1 ⊕ D3 ⊕ D5 ⊕ D7
    S2 = P2 ⊕ D2 ⊕ D3 ⊕ D6 ⊕ D7
    S4 = P4 ⊕ D4 ⊕ D5 ⊕ D6 ⊕ D7
    

• 循环冗余校验（CRC）：
  • 生成多项式：如CRC-16的生成多项式为x¹⁶+x¹⁵+x²+1
  • 计算步骤：
    1. 在数据后补r个0（r为生成多项式次数）
    2. 进行模2除法
    3. 余数作为校验码

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二、重点选择题解析

2.1 数制转换真题

真题1（2023年408统考）

题目：将十进制数-127转换为8位二进制补码，其表示为（ ）。
A. 10000001 B. 11111111 C. 10000000 D. 11111110

解析：

1. 原码：符号位1 + 绝对值原码 → 11111111
2. 补码：原码除符号位外取反+1 → 10000001
3. 答案：A
   易错点：忘记符号位固定为1，或补码转换时溢出处理错误。

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真题2（2022年408统考）

题目：下列二进制数中最小的是（ ）。
A. 1010010B B. 00101000BCD C. 512O D. 235H

解析：

1. 转换为十进制：
   • A: 1010010B = 82
   • B: 00101000BCD = 28
   • C: 512O = 5×64 + 1×8 + 2×1 = 346
   • D: 235H = 2×256 + 3×16 + 5 = 565
2. 答案：B
   易错点：混淆不同进制的转换方法，尤其是BCD码的特殊处理。

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2.2 编码相关真题

真题3（2021年408统考）

题目：用海明码对8位数据（D7-D0）进行检/纠错，若能纠正一位错，则校验位至少需要（ ）位。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

解析：

• 海明不等式：2ᵏ ≥ n + k + 1（n=8）
• 解得k=4时，2⁴=16 ≥ 8+4+1=13
• 答案：C
  易错点：误用不等式方向或计算错误。

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真题4（2016年408统考）

题目：C语言中unsigned short x=65530;转换为unsigned int y=x;后，y的机器数为（ ）。
A. 00007FFAH B. 0000FFFAH C. FFFF7FFAH D. FFFFFFFAH

解析：

• 65530的十六进制：0xFFFA
• 无符号数扩展：高位补0 → 0x0000FFFA
• 答案：B
  易错点：混淆符号扩展与无符号扩展规则。

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三、核心概念深度解析

3.1 补码的特殊性质

3.1.1 补码范围

• n位补码：-2ⁿ⁻¹ ≤ x ≤ 2ⁿ⁻¹-1
• 示例：8位补码范围是-128~+127

3.1.2 补码运算规则

• 加法规则：[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 mod 2ⁿ
• 减法规则：[X-Y]补 = [X]补 + [-Y]补 mod 2ⁿ

3.1.3 溢出判断

• 单符号位法：符号位进位与最高数值位进位不同则溢出
• 双符号位法：符号位不同则溢出（01正溢出，10负溢出）

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3.2 BCD码的修正方法

修正类型	修正条件	修正操作
8421码	和≥10	加6（0110）
余3码	和≥16	减3（0011）
2421码（5以上）	结果≥5	加3（0011）

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四、综合应用题解析

4.1 浮点数规格化问题

题目：将十进制数1999转换为IEEE 754单精度浮点数格式。
步骤：

1. 规格化：1999 = 1.999×2¹⁰
2. 符号位S=0（正数）
3. 阶码E=10+127=137 → 10001001B
4. 尾数M=999×2²³（取23位）
5. 最终表示：

   0 10001001 11111001100110011001101
   

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五、易错点与高频考点

5.1 常见错误类型

错误类型	典型示例	正确做法
补码范围混淆	认为8位补码最大为255	最大+127，最小-128
BCD码修正错误	8421码相加后未修正直接使用	检查是否≥10后加6
海明码校验位计算错误	校验位位置分配错误	按2ᵏ规则分配校验位

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5.2 高频考点总结

1. 数制转换：重点掌握二进制与十六进制的快速转换技巧
2. 补码运算：溢出判断与符号扩展规则
3. BCD码应用：8421码与ASCII码的转换
4. 校验码设计：海明码校验位计算与CRC多项式生成

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六、附录：思维导图与示意图

6.1 数制与编码知识导图

6.2 海明码结构示意图

数据位：D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0
校验位：P4 P3 P2 P1
排列方式：
P4 P3 D7 P2 D6 D5 D4 P1 D3 D2 D1 D0

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1. 各进制转换的详细算法推导
2. BCD码在计算器电路中的实现
3. CRC校验的硬件实现电路图
4. 历年408真题完整解析（2009-2023）
   建议结合王道考研教材补充习题与案例分析。