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1.问题

给定一个闭凸函数$g(\mathbf{u})=\Vert \mathbf{u}{\Vert }_1$（即 $l_1$ 范数），近端映射的定义为：

$${\text{prox}}_t(\Vert \cdot {\Vert }_1)(\mathbf{x})=\arg \underset{\mathbf{u}}{\min }\left\{\Vert \mathbf{u}{\Vert }_1+\frac{1}{2t}\Vert \mathbf{u}-\mathbf{x}{\Vert }^2\right\}.$$

我们的目标是找到一个点 $\mathbf{u}$，使得上述表达式达到最小值。

为了简化分析，我们可以将优化问题分量化，即对每个分量 $x_i$ 单独考虑。优化问题可以被分解为：

$$\underset{u_i}{\min }\left\{|u_i|+\frac{1}{2t}(u_i-x_i{)}^2\right\}.$$

2.求解

我们将对不同的情况进行讨论，根据 $u_i$ 的符号，我们可以将绝对值函数 $|u_i|$ 分解为不同的形式：

1. 当 $u_i>0$ 时，$|u_i|=u_i$，优化问题变为：

   $$\underset{u_i>0}{\min }\left\{u_i+\frac{1}{2t}(u_i-x_i{)}^2\right\}.$$​

2. 当 $u_i<0$ 时，$|u_i|=-u_i$，优化问题变为：

   $$\underset{u_i<0}{\min }\left\{-u_i+\frac{1}{2t}(u_i-x_i{)}^2\right\}.$$

3. 当 $u_i=0$时，表达式的值为 $\frac{1}{2t}{x}_i^2$。

我们可以通过对这些情况下的函数求导来找到最优值。

当 $u_i>0$时：

$$\frac{d}{d{u}_i}\left(u_i+\frac{1}{2t}(u_i-x_i{)}^2\right)=1+\frac{1}{t}(u_i-x_i).$$

令导数等于 0，得到：

$$1+\frac{1}{t}(u_i-x_i)=0⟹u_i=x_i-t.$$

当$u_i<0$ 时：

$$\frac{d}{d{u}_i}\left(-u_i+\frac{1}{2t}(u_i-x_i{)}^2\right)=-1+\frac{1}{t}(u_i-x_i).$$

令导数等于 0，得到：

$$-1+\frac{1}{t}(u_i-x_i)=0⟹u_i=x_i+t.$$

根据上面的求导结果，我们需要结合以下条件来得到最优解：

• 当 $x_i>t$ 时，最优解为 $u_i=x_i-t$；
• 当 $x_i<-t$时，最优解为$u_i=x_i+t$；
• 当 $|x_i|\le t$ 时，最优解为 $u_i=0$。

这三种情况可以统一写成软阈值函数的形式：

$${\text{prox}}_t(\Vert \cdot {\Vert }_1)(x_i)=\text{sign}(x_i)\cdot \max (|x_i|-t,0).$$

3.直观理解

软阈值函数的作用是对每个分量进行“收缩”：

• 如果$x_i$ 的绝对值大于阈值 $t$，那么它被缩小 $t$ 的量；
• 如果 $x_i$ 的绝对值小于或等于 $t$，那么它被直接置为 0。

4.例子

假设 $\mathbf{x}=(3,-1,0.5)$ 且 $t=1$，那么通过近端映射计算得到：

• 对于 $x_1=3$：${\text{prox}}_1(\Vert \cdot {\Vert }_1)(3)=\text{sign}(3)\cdot (3-1)=2$。
• 对于 $x_2=-1$：${\text{prox}}_1(\Vert \cdot {\Vert }_1)(-1)=\text{sign}(-1)\cdot (1-1)=0$。
• 对于 $x_3=0.5$：${\text{prox}}_1(\Vert \cdot {\Vert }_1)(0.5)=\text{sign}(0.5)\cdot \max (0.5-1,0)=0$。

因此，近端映射的结果是 ${\text{prox}}_1(\Vert \cdot {\Vert }_1)(\mathbf{x})=(2,0,0)$。

在这个例子中，我们可以看到，对于给定的输入 $\mathbf{x}=(3,-1,0.5)$，近端映射给出了唯一的输出 $(2,0,0)$。无论我们如何重复计算，给定相同的 $\mathbf{x}$ 和参数 $t$，结果总是相同的。这就是所谓的单值映射，即每一个输入只对应一个唯一的输出。

5.总结

近端映射是从空间 $E$ 到自身的单值映射，这意味着它对每个输入点$\mathbf{x}$ 总是返回唯一的、确定的输出点 $\mathbf{u}$。这种特性在优化问题中非常有用，因为它确保了算法在每一步都有明确的更新方向，不会产生多义性。