在本篇文章中，我们将详细解读力扣第247题“中心对称数 II”。通过学习本篇文章，读者将掌握如何生成范围内的所有中心对称数，并了解相关的复杂度分析和模拟面试问答。每种方法都将配以详细的解释，以便于理解。
问题描述
力扣第247题“中心对称数 II”描述如下：
给定一个正整数 n，返回所有长度为 n 的中心对称数。
中心对称数是指一个数字旋转 180 度后依然与原数相同。
示例:
解题思路
方法一：递归生成法
1. 初步分析：
• 中心对称数可以通过递归构造生成。我们可以通过在较短的中心对称数两侧添加字符对来生成较长的中心对称数。
• 我们知道，只有 0、1、6、8、9 这些字符在旋转 180 度后仍然是有效的中心对称字符。因此，我们可以通过在较短的中心对称数的两侧分别添加这些字符对来构造长度更长的中心对称数。
2. 步骤：
• 递归的基线条件是长度为 0 的空字符串和长度为 1 的中心对称数字 0、1、8。
• 对于长度为 n 的中心对称数，我们可以通过在长度为 n-2 的中心对称数的两侧添加字符对 (0,0)、(1,1)、(6,9)、(8,8)、(9,6) 来生成。
• 需要注意的是，不能在长度大于 1 的中心对称数的最外层添加 0，因为这会导致前导零的问题。
代码实现
def findStrobogrammatic(n):
return helper(n, n)
def helper(n, final_length):
if n == 0:
return [""]
if n == 1:
return [“0”, “1”, “8”]
sub_nums = helper(n - 2, final_length)
result = []for num in sub_nums:if n != final_length:result.append("0" + num + "0")result.append("1" + num + "1")result.append("6" + num + "9")result.append("8" + num + "8")result.append("9" + num + "6")return result
测试案例
print(findStrobogrammatic(2)) # 输出: [“11”, “69”, “88”, “96”]
print(findStrobogrammatic(3)) # 输出: [“101”, “609”, “808”, “906”, “111”, “619”, “818”, “916”, “181”, “689”, “888”, “986”]
复杂度分析
• 时间复杂度：O(5^(n/2))，递归生成中心对称数时，我们每次都对 n-2 的较短字符串进行扩展，每次扩展时有 5 种不同的字符对选择。
• 空间复杂度：O(5^(n/2))，存储生成的所有中心对称数。
模拟面试问答
问题 1：你能描述一下如何解决这个问题的思路吗？
回答：我们使用递归生成法来解决这个问题。通过从长度为 0 或 1 的基本中心对称数字开始，逐步在两侧添加字符对（如 1 对 1、6 对 9）来生成较长的中心对称数。递归地构造每一个较长的中心对称数，并确保不会在前面添加前导零。
问题 2：为什么选择使用递归生成法来解决这个问题？
回答：递归生成法能够有效地构造出所有可能的中心对称数。通过从较短的中心对称数开始构造，并递归地添加字符对，我们可以轻松地生成符合条件的数字。这种方法自然且符合问题的递归性质。
问题 3：你的算法的时间复杂度和空间复杂度是多少？
回答：时间复杂度是 O(5^(n/2))，因为每次递归生成时，我们都有 5 种字符对可供选择。空间复杂度同样是 O(5^(n/2))，因为我们需要存储所有生成的中心对称数。
问题 4：在代码中如何处理边界情况？
回答：代码通过递归基线条件处理了长度为 0 和长度为 1 的特殊情况。对于长度为 2 及以上的数字，我们通过递归构造，确保在最外层不会添加前导零，从而避免生成非法的中心对称数。
问题 5：你能解释一下递归法在这个问题中的具体作用吗？
回答：递归法允许我们通过将较短的中心对称数扩展为较长的中心对称数来构造最终结果。每次递归调用时，我们都会在较短字符串的两端添加一对字符对，并通过递归基线条件确保每个数字都合法且对称。
问题 6：在代码中如何确保返回的结果是正确的？
回答：通过逐步递归构造数字，并在每次递归调用时生成合法的字符对，我们确保返回的结果是所有可能的中心对称数。测试用例验证了代码的正确性，确保返回的结果符合题目要求。
问题 7：你能举例说明在面试中如何回答优化问题吗？
回答：在面试中，如果被问到如何优化算法，我会首先分析当前算法的时间复杂度和空间复杂度。递归法的复杂度已经较高，可以讨论如何通过记忆化存储已经生成的结果来减少重复计算。还可以探讨如何减少不必要的递归调用或优化字符拼接过程。
问题 8：如何验证代码的正确性？
回答：通过编写详细的测试用例，涵盖各种长度的中心对称数生成，确保每个测试用例的结果都符合预期。此外，还可以手工验证较短的中心对称数生成过程，确保递归逻辑正确。
问题 9：你能解释一下解决“中心对称数 II”问题的重要性吗？
回答：解决“中心对称数 II”问题展示了递归生成和字符处理的技巧，尤其是在处理对称性和递归构造时的能力。通过掌握这个问题的解决方法，可以提高对递归算法和字符生成问题的理解，并为处理更复杂的构造问题打下基础。
问题 10：在处理大数据集时，算法的性能如何？
回答：由于算法的时间复杂度为 O(5^(n/2))，在处理较大 n 时生成过程会变得较慢。对于较长的中心对称数，可以考虑使用动态规划或记忆化递归来优化性能。空间复杂度同样是 O(5^(n/2))，在大规模生成时也需要考虑内存消耗。
总结
本文详细解读了力扣第247题“中心对称数 II”，通过使用递归生成法高效地生成指定长度的所有中心对称数，并提供了详细的解释和模拟面试问答。希望读者通过本文的学习，能够在力扣刷题的过程中更加得心应手。