四 矩阵的LU分解
- 1. AB的逆矩阵
- 2. 转置矩阵
- 3. A=LU
- 3.1 2x2矩阵
- 3.2 3x3矩阵
- 3.3 nxn的矩阵分解的次数？
1. AB的逆矩阵
{ ( A B ) ( B − 1 A − 1 ) = I ( B − 1 A − 1 ) ( A B ) = I ⇒ ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 \begin{cases} (AB)(B^{-1}A^{-1}) = I\\ (B^{-1}A^{-1}) (AB)=I \end{cases} \Rightarrow (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} {(AB)(B−1A−1)=I(B−1A−1)(AB)=I⇒(AB)−1=B−1A−1
2. 转置矩阵
A A − 1 = I ⇒ 两边同时转置 ( A A − 1 ) T = I ⇒ ( A B ) T = B T A T ( A − 1 ) T A T = I \begin{aligned} AA^{-1}=I & \newline \xRightarrow{\text{两边同时转置}} (AA^{-1})^{T}=I &\newline \xRightarrow {(AB)^T = B^TA^T} (A^{-1})^TA^T=I \end{aligned} AA−1=I两边同时转置(AA−1)T=I(AB)T=BTAT(A−1)TAT=I
转置矩阵的逆 = 逆矩阵的转置
3. A=LU
3.1 2x2矩阵
A矩阵进行消元，可以得到EA=U
[ 1 0 − 4 1 ] ⏟ E [ 2 1 8 7 ] ⏟ A = [ 2 1 0 3 ] ⏟ U \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0\\ -4&1 \end{bmatrix}}_{E} \underbrace{\begin{bmatrix} 2&1\\ 8 &7 \end{bmatrix}}_{\text{A}}= \underbrace{\begin{bmatrix} 2&1\\ 0&3 \end{bmatrix}}_{U} E [1−401]A [2817]=U [2013]
两边同时乘以 E − 1 E^{-1} E−1，得到A=LU。其中L为下三角矩阵(lower),U为上三角矩阵(upper)。
[ 2 1 8 7 ] ⏟ A = [ 1 0 4 1 ] ⏟ L [ 2 1 0 3 ] ⏟ U \underbrace{\begin{bmatrix} 2&1\\ 8 &7 \end{bmatrix}}_{\text{A}}=\underbrace{\begin{bmatrix} 1&0\\ 4&1 \end{bmatrix}}_{L} \underbrace{\begin{bmatrix} 2&1\\ 0&3 \end{bmatrix}}_{U} A [2817]=L [1401]U [2013]
3.2 3x3矩阵
样例来源于 2.【线性代数】——矩阵消元的第三部分
其中 E 21 E_{21} E21表示 r o w 2 − 3 r o w 1 row_2-3row_1 row2−3row1, E 32 E_{32} E32表示 r o w 3 − 2 r o w 2 row_3-2row_2 row3−2row2
[ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 ] ⏟ E 32 [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] ⏟ E 21 [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] ⏟ A = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] ⏟ U \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&-2&1\\ \end{bmatrix}}_{E_{32}} \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ -3&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}_{E_{21}} \underbrace{\begin{bmatrix} 1&2&1\\ 3&8 &1\\ 0&4&1 \end{bmatrix}}_{\text{A}}= \underbrace{\begin{bmatrix} 1&2&1\\ 0&2&-2\\ 0&0&5 \end{bmatrix}}_{\text{U}} E32 10001−2001 E21 1−30010001 A 130284111 =U 1002201−25
A = ( E 21 ) − 1 ( E 32 ) − 1 U A=(E_{21})^{-1}(E_{32})^{-1}U A=(E21)−1(E32)−1U
逆矩阵的求法，参考 2.【线性代数】——矩阵消元的第五部分
L = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] ⏟ ( E 21 ) − 1 [ 1 0 0 0 1 0 0 2 1 ] ⏟ ( E 32 ) − 1 = [ 1 0 0 3 1 0 0 2 1 ] L = \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 3&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}_{(E_{21})^{-1}} \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&2&1\\ \end{bmatrix}}_{(E_{32})^{-1}} =\begin{bmatrix} 1&0&0\\ \boxed{3}&1&0\\ 0&\boxed{2}&1\\ \end{bmatrix} L=(E21)−1 130010001 (E32)−1 100012001 = 130012001
为什么用L矩阵？
- 因为在不存在行交换的额情况下，消元乘数可直接写入L
3.3 nxn的矩阵分解的次数？
[ a b c d ] ⇒ [ a b c − a ∗ c a d − b ∗ c a ] , c − a ∗ c a 是一次操作。 \begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} a&b\\ c-a*{\frac c a}&d-b*{\frac c a}\\ \end{bmatrix}, \boxed{c-a*{\frac c a}}是一次操作。 [acbd]⇒[ac−a∗acbd−b∗ac],c−a∗ac是一次操作。
那么100x100的矩阵，获得第一个主元的估算操作数为 10 0 2 100^2 1002；获得第二个主元的估算操作数为 9 9 2 99^2 992；获得第三个主元的估算操作数是 9 8 2 98^2 982…
求和为 1 2 + 2 2 + . . . + n 2 ≈ 1 3 n 3 1^2+2^2+...+n^2\approx{\frac 1 3}n^3 12+22+...+n2≈31n3